学习总结报告教学评价实录

【2013年高考会这样考】

1．考查含绝对值不等式的解法．

2．考查有关不等式的证明．

3．利用不等式的性质求最值．

【复习指导】

本讲复习时，紧紧抓住含绝对值不等式的解法，以及利用重要不等式对一些简单的不等式进行证明．该部分的复习以基础知识、基本方法为主，不要刻意提高难度，以课本难度为宜，关键是理解有关内容本质. 基础梳理

1．含有绝对值的不等式的解法

(1)|f(x)|＞a(a＞0)⇔f(x)＞a或f(x)＜－a；

教学过程

(2)|f(x)|＜a(a＞0)⇔－a＜f(x)＜a；

(3)对形如|x－a|＋|x－b|≤c，|x－a|＋|x－b|≥c的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．

2．含有绝对值的不等式的性质

|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.

3．基本不等式

定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab.当且仅当a＝b时，等号成立．

定理2：如果a、b为正数，则a＋b≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

2a＋b＋c33≥abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

定理3：如果a、b、c为正数，则定理4：(一般形式的算术－几何平均值不等式)如果a1、a2、…、an为n个正数，则a1＋a2＋…＋ann≥a1a2…an，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．

n5．不等式的证明方法

证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．

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双基自测

1．不等式1＜|x＋1|＜3的解集为________．

2．不等式|x－8|－|x－4|＞2的解集为________．

3．已知关于x的不等式|x－1|＋|x|≤k无解，则实数k的取值范围是________．

4．若不等式|3x－b|＜4的解集中的整数有且仅有1,2,3，则b的取值范围为________．

5．(2011·南京模拟)如果关于x的不等式|x－a|＋|x＋4|≥1的解集是全体实数，则实数a的取值范围是________．

考向一

含绝对值不等式的解法

【例1】►设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－4|. (1)解不等式f(x)＞2；

(2)求函数y＝f(x)的最小值．

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(1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值．

(2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，即通俗易懂，又简洁直观，是一种较好的方法．

【训练1】

设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果∀x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围．

考向二

不等式的证明

【例2】►证明下列不等式：

(1)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2；

(2)a2＋4b2＋9c2≥2ab＋3ac＋6bc；

1(3)a6＋8b6＋27c6≥2a2b2c2. [审题视点] (1)作差比较；(2)综合法；(3)利用柯西不等式．

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方法总结：

(1)作差法应该是证明不等式的常用方法．作差法证明不等式的一般步骤是：①作差；②分解因式；③与0比较；④结论．关键是代数式的变形能力．

(2)注意观察不等式的结构，利用基本不等式或柯西不等式证明．

111【训练2】

(2010·辽宁)已知a，b，c均为正数，证明：a2＋b2＋c2＋a＋b＋c2≥63，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

考向三

利用基本不等式或柯西不等式求最值

【例3】►已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，求3a＋1＋3b＋1＋3c＋1的最大值．

[审题视点] 先将(3a＋1＋3b＋1＋3c＋1)平方后利用基本不等式；还可以利用柯西不第

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等式求解．

利用基本不等式或柯西不等式求最值时，首先要观察式子特点，构造出基本不等式或柯西不等式的结构形式，其次要注意取得最值的条件是否成立．

【训练3】

已知a＋b＋c＝1，m＝a2＋b2＋c2，求m的最小值．

如何求解含绝对值不等式的综合问题

从近两年的新课标高考试题可以看出，高考对《不等式选讲》的考查难度要求有所降低，重点考查含绝对值不等式的解法(可能含参)或以函数为背景证明不等式，题型为填空题或解答题．

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【示例】►

(本题满分10分)(2011·新课标全国)设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a＞0. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；

(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．

本题综合考查了含绝对值不等式的解法，属于中档题．解含绝对值的不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式(组)进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x－a|＋|x－b|＞m或|x－a|＋|x－b|＜m(m为正常数)，利用实数绝对值的几何意义求解较简便．

【试一试】

(2011·辽宁)已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|. (1)证明：－3≤f(x)≤3；

(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．

[尝试解答]

－3，x≤2，(1)f(x)＝|x－2|－|x－5|＝2x－7，2＜x＜5，3，x≥5.

当2＜x＜5时，－3＜2x－7＜3.所以－3≤f(x)≤3. (2)由(1)可知，当x≤2时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为空集；当2＜x＜5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x＜5}；

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当x≥5时，f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5≤x≤6}．

综上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集为{x|5－3≤x≤6}.

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一、选择题：

1、若n0,则nA．

2 32的最小值为

(

) 2n

B．4

C．6

D．8

2、下列命题中正确的是

(

) 1x23A．yx的最小值是2

B．y的最小值是2

2xx2

C．y23x4x0的最大值是243

x4D．y23xx0的最小值是243

x

34课后作业

3、若实数m,n,x,y满足m2+n2=1,x2+y2=3，则mx+ny的最大值是

(

A．2

B．5

C．3

D．

4、设x＞0,y＞0,M=A．M＞N

xyxy,N=,则M、N的大小关系是

（

）2xy2x2y

B．M＜N

C．M≥N

D．M≤N

(

D．-

5、若不等式｜ax+2｜＜6的解集为(-1，2)，则实数a等于

A．8

B．2

C．4

6、下列各式中，最小值等于2的是

（

）

1xyx25xx

A．

B．

C．tan

D．22

tanyxx247、若x,y,aR，且xyaxy恒成立，则a的最小值是

（

）

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A．12

B．2

C．1

D．

228、设abc,nN，且11n恒成立，则n的最大值是

（

）

abbcac

A．2

B．3

C．4

D．6

x22x29、若x(,1)，则函数y有

（

）

2x2A．最小值1

B．最大值1

C．最大值1

D．最小值1

10、设不等的两个正数a,b满足abab，则ab的取值范围是

（

）

A．(1,)

B．(1,)

C．[1,]

D．(0,1)

11、设a,b,cR，且abc1，若M(1)(1)(1)，则必有

（

）

332243431a1b1c

A．0M11

B．M1

C．1M8

D．M8

8812、若a,bR，且ab,Mab, Nab，则M与N的大小关系是（

）

ba

A．MN

B．MN

C．MN

D．MN

13、若logxy2，则xy的最小值是

（

）

3332233

A．

B．

C．22314、若x1，则函数yx3

D．232

116x2的最小值为

（

）

xx1

A．16

B．8

C．4

D．非上述情况

15、设ba0，且Paba2b2，Q，

Mab，

N，R，则11112222abab22它们的大小关系是

（

）

A．PQMNR

B．QPMNR

C．PMNQR

D．PQMRN

二、填空题

16、若实数x,y,z满足x2y3za(a为常数)，则xyz的最小值为

17、若x1,y1,z1,xyz10，且xlgx222ylgyzlgz10，则xyz_____。

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18、若a,b,cR，且abc1，则abc的最大值是

19、已知1a,b,c1，比较abbcca与1的大小关系为

. 20、若a0，则a11a22的最大值为

. aa21、若x,y,z是正数，且满足xyz(xyz)1，则(xy)(yz)的最小值为______。

22、函数y53x112103x的最大值为 ．

23、已知x0,y0,

三、解答题

24、已知实数a,b,c满足abc，且有abc1,a2b2c21

求证：1ab

25、已知abcd，求证：

26、已知x,y,zR，且xyz8,x2y2z224

求证：

27、（1）.a、b为非负数，a+b=1，x1,x2R，求证：(ax1bx2)(bx1ax2)x1x2；

211,若x2ym22m恒成立,则实数m的取值范围是_____. xy4

31119

abbccaad444x3,y3,z3

333第

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2222（2）.已知实数a,b,c,d满足abcd3，a2b3c6d5试求a的最值

28、已知正数x,y,z满足5x4y3z10. 25x216y29z2

（1）

求证: 5; 4y3z3z5x5x4y

（2）

求9

x29y2z2的最小值.

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4-5不等式选讲测试卷

参考答案

一、选择题：本大题共15小题，每小题3分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1 2 3[来源:学。科。网] C C C B C D B C C B D A A B A 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析：6、7、2x0,2x0,2x2x22x2x2

x2y2xy22,即x2y2(xy)，xy(xy)，而

2222xyaxy，即xy8、112(xy)恒成立，得,即a2

aa2acacabbcabbcbcab24

abbcabbcabbc11411n

，而恒成立，得n4

abbcacabbcac第

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(x1)21x111x19、y21

2x22x222(x1)22(1x)(ab)210、aabbab,(ab)(ab)ab，而0ab

42224(ab)2

所以0(ab)(ab)，得1ab

34211、M(abcabcabc(bc)(ac)(ab)1)(1)(1)

abcabc8abbcac8

abcabb2a,a2b

ba12、ab,

ababba2b2a，即ba

baba1，

2x13、由logxy2得y而xyx14、yx1xx1xx113333332

222x22x22x42116x1162x2168

xx1xx1x二、填空题：本大题共8小题，每小题5分，共45分．

a216、

14(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2a2

a2

即14(xyz)a，xyz

14222222217、12

lg(xlgxylgyzlgz)1lg2xlg2ylg2z1

222

而lgxlgylgz(lgxlgylgz)2(lgxlgylgylgzlgzlgx)

2[lg(xyz)]22(lgxlgylgylgzlgzlgx)12(lgxlgylgylgzlgzlgx)1即lgxlgylgylgzlgzlgx0，而lgx,lgy,lgz均不小于0

得lgxlgylgylgzlgzlgx0，

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此时lgxlgy0，或lgylgz0，或lgzlgx0，[来源:Z|xx|k.Com] 得xy1,z10，或yz1,x10，或xz1,y10

xyz12

18、3

(1a1b1c)2(121212)(abc)3

19、

构造单调函数f(x)(bc)xbc1，则f(1)(1b)(1c)0，

f(1)(1b)(1c)(1b)(1c)0，即1x1，f(x)0恒成立，

所以f(a)(bc)abc10，即abbcca1

20、22设a211122atat22

，则，即t(t2)22aaa

再令ya11t10

a22t22t(t2)，y'2aat22时，ymax22

即t[2,)时，y是t的减函数，得t21、2

(xy)(yz)xyy2yzzxy(xyz)zx2y(xyz)zx2

22、39

23、4,2

三、解答题：本大题共6小题，共55分，解答应写出文字说明或演算步骤．

(ab)2(a2b2)c2c

24、证明：ab1c,ab2

a,b是方程x(1c)xcc0的两个不等实根，

则(1c)4(cc)0，得222221c1

3

而(ca)(cb)c(ab)cab0

即c(1c)ccc0，得c0,或c

所以25、证明：222

314c0，即1ab

33abcd,ab0,bc0,cd0

(111111)(ad)()[(ab)(bc)(cd)]

abbccaabbcca

3311133(ab)(bc)(cd)9

abbcca第

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1119

abbccaad(xy)2(x2y2)z28z20

26、证明：显然xy8z,xy2

x,y是方程t2(8z)xz28z200的两个实根，

由0得444z4，同理可得y4，x4

3332227、(1)证：(ax1bx2)(bx1ax2) (ax1bx2)(ax2bx1)(ax1x2bx1x2)

(ab)x1x2x1x2

（∵a+b=1）

（2）解：由柯西不等式得，有

2b2221113c26d2bcd；即2b23c26d2bcd

2362由条件可得，

5a3a；解得，1a2当且仅当22b3c6d

时等号成立，代入12131611b1,c,d时，

amax2

3621

b1,c,d时

amin1

3328、（1）解：根据柯西不等式，得

25x216y29z2[(4y3z)(3z5x)(5x4y)][]4y3z3z5x5x4y源:Zxxk.Com] (5x4y3z)2

[来25x216y29z2102因为5x4y3z10,所以5.

4y3z3z5x5x4y20

（2）解：根据均值不等式, 得9x9y当且仅当xyz时, 等号成立. 根据柯西不等式, 得(xyz)(543)(5x4y3z)100, 即

(xyz)2,当且仅当综上, 9x2222222222222222z2299x2y2z223x2y2z2, xyz时, 等号成立. 5439y2z223218.

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本节课教学计划完成情况：照常完成□

提前完成□

延后完成□ _____________________________ 学生的接受程度：完全能接受□

部分能接受□

不能接受□ ________________________________ 学生的课堂表现：很积极□

比较积极□

一般□

不积极□ ________________________________ 课后记

学生上次作业完成情况：数量____% 完成质量____分 存在问题 ______________________________ 配合需求：家长___________________________________________________________________________ 学管师_________________________________________________________________________ 注备

提交时间

教研组长审批

家长签名

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