阅读与思考 九连环教学设计及说课稿

数列中的数学思想

数学思想在以后的学习中起着重要的作用，若能根据问题的题设特点，灵活地运用相应的数学思想，往往能迅速找到解题思路，从而简便、准确求解．

1．方程思想

例1 在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求通项an. 分析

欲求通项an，需求出a1及q，为此根据题设构造关于a1与q的方程组即可求解．

解

方法一

∵a1a3＝

，∴a1a2a3＝

＝8，∴a2＝2. 从而

解得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1.

当a1＝1时，q＝2；当a1＝4时，q＝

. 故an＝2n－1或an＝23－n. 方法二

由等比数列的定义知a2＝a1q，a3＝a1q2代入已知得，

即

即

将a1＝代入①得2q2－5q＋2＝0，

∴q＝2或q＝，

由②得

或

∴an＝2n－1或an＝23－n. 2．分类讨论思想

例2 已知{an}是各项均为正数的等差数列，且lg a1，lg a2，lg a4也成等差数列，若bn＝

，n＝1,2,3，…，证明：{bn}为等比数列．

证明

由于lg a1，lg a2，lg a4成等差数列，

所以2lg a2＝lg a1＋lg a4，则a22＝a1·a4. 设等差数列{an}的公差为d，

则有(a1＋d)2＝a1(a1＋3d)，

整理得d2＝da1，从而d(d－a1)＝0. (1)当d＝0时，数列{an}为常数列，

又bn＝

，，则{bn}也是常数列，

此时{bn}是首项为正数(2)当d＝a1≠0时，

，，公比为1的等比数列．

则a2n＝a1＋(2n－1)d＝d＋(2n－1)d＝2nd，

所以bn＝

，＝·

，

，公比为的等比数列．

这时{bn}是首项b1＝综上，{bn}为等比数列．

3．特殊化思想

例3 在数列{an}中，若

＝k(k为常数)，n∈N*，则称{an}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：①k不可能为0；②等差数列一定是等差比数列；③等比数列一定是等差比数列；④等差比数列中可以有无数项为0.其中正确的判断是(

) A．①② B．②③ C．③④ D．①④

分析

本题为新定义题，且结论具有开放性，解决本题可借助新定义构造特殊数列，排除不正确的判断，从而简捷求解．

解析

数列a，a，…，a(a≠0)既是等差数列，又是等比数列，但不满足即不是等差比数列，故②、③不正确．故选D. 答案

D 4．整体思想

例4 在等比数列{an}中，a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________.

＝k，

分析

根据题设条件可知而

＝q10＝，

＝q90，故可整体代入求解．

解析

设等比数列{an}的公比为q，

则

＝q10＝

，

又

＝q＝(q)＝

，

90109

故a99＋a100＝

(a9＋a10)＝

答案

2 求数列通项的四大法宝

1．公式法

题设中有an与Sn的关系式时，常用公式

an＝

来求解．

例1 已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－2，求其通项公式an. 解

当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1；

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2－(3n－1－2)＝3n－3n－1＝2×3n－1，

又a1＝1≠2×31－1，

所以数列{an}的通项公式an＝

2．累加法

若数列{an}满足an－an－1＝f(n－1)(n≥2)，且f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)可求，则可用累加法求通项．

例2 已知数列{an}满足a1＝1，an＝3n－1

，

＋an－1(n≥2)，求其通项公式an. 解

由已知，得an－an－1＝3n－1(n≥2)，

所以a2－a1＝3，a3－a2＝32，a4－a3＝33，…，an－an－1＝3n－1，

以上各式左右两边分别相加，得

an－a1＝3＋32＋33＋…＋3n－1，

所以an＝＋1＝

(n≥2)，

又n＝1时，a1＝1＝3．叠乘法

若数列{an}满足

，所以an＝

(n∈N*)．

＝f(n－1)(n≥2)，其中f(1)·f(2)·…·f(n－1)可求，则可用叠乘法求通项．

例3 已知数列{an}中，a1＝3，an＝ an－1(an≠0，n≥2)，求其通项公式an. 解

由a1＝3，an＝ an－1，得

＝ ，

所以

＝

，

＝

，

＝ ，

＝ ，…，

边分别相乘，得

＝ ，

＝ (n≥2)，以上各式左右两

所以an＝ (n≥2)，

又a1＝3＝ ，所以an＝ (n∈N*)．

4．构造法

当题中出现an＋1＝pan＋q(pq≠0且p≠1)的形式时，把an＋1＝pan＋q变形为an＋1＋λ＝p(an＋λ)，即an＋1＝pan＋λ(p－1)，令λ(p－1)＝q，解得λ＝ ，从而构造出等比数列{an＋λ}．

例4 数列{an}满足a1＝1，an＋1＝

an＋3(n∈N*)，求其通项公式an. 解

设an＋1＋t＝

(an＋t)，则an＋1＝

an－

t，

与已知比较，得－

t＝3，所以t＝－4，

故an＋1－4＝

(an－4)，

又a1－4＝1－4＝－3≠0，故数列{an－4}是首项为－3，公比为

的等比数列，因此an－4＝－3×

即an＝4－3×

3 函数思想在等差数列中的妙用

对比等差数列的通项公式和一次函数的解析式，等差数列的前n项和公式和二次函数的解析式，可以得出等差数列以下三点性质．

，

(n∈N*).

性质1：在等差数列{an}中，通项公式an＝a1＋(n－1)d，变形为an＝dn＋(a1－d)，知点(n，an)均在直线y＝dx＋(a1－d)上．

例1 在等差数列{an}中，a12＝21，a45＝153，那么225是第几项？

解

由an＝dn＋a1－d，知点(n，an)在直线：y＝dx＋a1－d上，所以＝d，

代入数据得 ＝

＝ ，解得n＝63，

即225是这个数列中的第63项．

性质2：在等差数列{an}中，其前n项和Sn＝na1＋

，知点

均在直线y＝

x＋a1－

上．

d，可变形为

＝n＋

例2 在等差数列{an}中，S10＝20，S50＝200，则S2 010的值为________．

解析

由于点

在直线y＝

x＋a1－

上，于是点

，

，

三点共线，

∴ ＝ 成立．

把S10＝20，S50＝200代入上式，解得：S2 010＝205 020. 答案

205 020 性质3：在等差数列{an}中，其前n项和Sn＝na1＋

d，可变形为Sn＝

n2

＋

n，若设A＝

，B＝a1－

，则Sn＝An2＋Bn，且点(n，Sn)均在曲线y＝Ax2＋Bx上．

例3 已知等差数列{an}中，Sm＝Sn (m≠n)，则Sm＋n＝______. 解析

因为Sn＝An2＋Bn，知点(n，Sn)在抛物线y＝Ax2＋Bx上，又Sm＝Sn，所以点P1(m，Sm)与点P2(n，Sn)关于抛物线的对称轴对称，而对称轴方程为x＝不妨设A<0，如图所示xC＝m＋n，从而Sm＋n＝0.

，

答案

0

例4 设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1>0，S12>0，S13<0，指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由？

解

∵{an}是等差数列，

∴Sn＝n2＋

n，

∵S12>0，S13<0.∴a13＝S13－S12<0，

∵a1>0，a13<0，∴d<0.

∴点(n，Sn)分布在开口方向向下的抛物线y＝

x2＋

x的图象上．

设二次函数y＝

x2＋

x的对称轴为x＝n0，

则2n0是二次函数的一个零点．

∵S12>0，S13<0，

∴12<2n0<13，

∴6

∴A点为最高点，S6最大．

由上述例子可见，解等差数列问题时，若能灵活运用函数的思想与方法，可以简化运算过程，开拓解题思路，收到事半功倍的效果.