1.3 二项式定理（通用）评课稿

§1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

一、教材分析

《“杨辉三角”与二项式系数的性质》是全日制普通高级中学教科书人教A版选修2-3第1章第3节第2课时.教科书将二项式系数性质的讨论与“杨辉三角”结合起来，是因为“杨辉三角”蕴含了丰富的内容，由它可以直观看出二项式系数的性质，“杨辉三角”是我国古代数学重要成就之一，显示了我国古代人民的卓越智慧和才能，应抓住这一题材，对学生进行爱国主义教育，激励学生的民族自豪感.本节内容以前面学习的二项式定理为基础，

二、教学目标

（一）、知识与技能：

1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质； 2、探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律；

3、会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律. （二）过程与方法：

1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法；

2、利用简短的视频放映，向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感; 3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，杨辉三角与弹子游戏，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备. （三）情感、态度与价值观：

1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神．

2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神. 三、教学重点与难点：

重点：二项式系数的性质

难点：1、理解增减性与最大值时，根据n的奇偶性确定相应的分界点；

2、利用赋值法证明二项式系数的性质，数学思想方法（由特殊到一般、由一般

到特殊）的渗透

四、教学过程

（一）复习回顾

0n1n11.

二项式定理：(ab)nCnaCnabCnan2b0122(1x)nCnCnxCnxnnCnx(nN*)

2nn2Cnb(nN) 012n2.

二项式系数是：Cn,Cn,Cn,Cn(nN*)

mnm3、组合数性质：CnCnmmm1

CnCC1nn（二）情境引入

1. 展示图片

“杨辉三角”是一个三角形数表，曾在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它。这表明我们发明这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家帕斯卡（B.Pascal,1623-1662）首先发现的，他们把这个表叫做帕斯卡三角。这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。（通过图片，更能吸引学生的注意力）

2、合作探究

问题1：完成(ab)（n=1，2，3，4，5，6）的二项展开式的二项式系数表，你能发现什么？

nab1

1

1

ab2

1

2

1

ab3

1

3

3

1

ab4

1

4

6

4

1

ab5

1

5

10

10

5

1

ab6

1

6

15

20

15

6

1

[来源:Zxxk.Com]

（二项式系数表） （杨辉三角）

（三）讲授新课

【问题1】怎样证明(ab)展开式的二项式系数具有对称性和增减性与最大值呢？

n

【问题探究】探究：（1）(ab)展开式的二项式系数Cn,Cn,Cn,r为自变量的函数f(r)Cn吗？它的定义域是什么？

n012rn,Cn，Cn可以看成是以rr（2）画出n6和7时函数f(r)Cn的图象，并观察分析他们是否具有对称性和增减性与最大值.

（3）结合杨辉三角和所画函数图象说明或证明二项式系数的性质. mnm1、对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．CnCn．

2、增减性与最大值：Ckn增减情况由n(n1)(n2)(nk1)kk11(nk1)Ck，所以Cn相对于Cn的n(k1)!kk(nk1)(nk1)n1n11k决定．由可知，当k时，二项式系数kk22是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n的偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C大值．

【问题2】(ab)展开式的各二项式系数的和是多少？

探究：（1）计算(ab)展开式的二项式系数的和（n=1，2，3，4，5，6）. （2）猜想(ab)展开式的二项式系数的和. （3）怎样证明你猜想的结论成立？

n.0122赋值法：已知(1x)CnCnxCnxrrCnxnCnnx，

nnnn12n，Cn22n相等，且同时取得最n012令x1，则2CnCnCnnCn．

这就是说，(ab)的展开式的各个二项式系数的和等于2．

nnn元集合子集的个数（两个计数原理）. 012分类计数原理：CnCnCnnCn

分步计数原理：n个2相乘，即2．

012所以CnCnCnnCn2n．

n例.证明：在数的和. 展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系nnCnb中，令a1,b1，

n0n1n12n22证明：在展开式(ab)CnaCnabCnabn0123则得(11)CnCnCnCnn(1)nCn，

即0(CnCnn023)(C1nCn2)，所以C0nCn3C1nCn，

在(ab)的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和. （四）随堂练习

1．(ab)的展开式中的第四项和第八项的二项式系数相等，则n等于 . 2．(2x3y)的展开式中前 项的二项式系数逐渐增大，后半部分逐渐减小，二项式系数取得最大值的是第 项. 723．已知(12x)a0a1xa2x11na7x7，求：

（五）课堂小结

通过本节课的学习，你有什么收获和体会（从数学和生活的角度）？还有什么疑问吗？[来源:学科网]

（六）布置作业

课本35页练习1（1）（2）（3）