小结教学设计及教案分析

含参数的一元二次不等式的解法

教案设计：清丰县第一高级中学 李春玲

三维目标：

1知识与技能

掌握一元二次不等式的解法，在此基础上理解含有字母参数的一元二次不等式的解法。

2过程与方法

通过体验解题的过程，提高学生的逻辑分析能力。

3情感态度的价值观

通过分类讨论的过程培养学生思维的严密性

教学重点：

含参数的一元二次不等式的解法

教学难点：

分类讨论标准的划分

教学过程：

一，复习练习

2复习解一元二次不等式的一般步骤，解不等式：

-3x+19x-6 ≥ 0

二，新课讲授

含参数的一元二次不等式的解法与具体的一元二次不等式的解法在本质上是一致的，通常情况下，都需分类讨论，那么如何讨论呢？这就是我们本节课需要探究的。

类型一：按二次项系数分类

2例1：解关于x的不等式ax-ax-2a>0

分析：当二次项含参数时，必须按二次项系数与0的大小关系讨论

解：不等式可化为a(x+1)(x-2)>0

当a>0时，不等式的解集为{x|x<-1或x>2}

当a=0时，不等式的解集为Ø

当a<0时，不等式的解集为{x|-1

2变式练习：. 6ax-ax-a<0. 类型二：按判别式分类

2例2：解关于x的不等式2x+kx-k≤0

分析：由于二次项的系数大于0 ，对应方程的根只需考虑△的符号

。

2 解：△＝k+8k 2(1)当k+8k<0 即-8< k<0时，原不等式解集为Ø

2(2)当

k+8k=0 即k=-8或k=0时

2∴(a)当k=0时,原不等式即为2x≤ 0 , 原不等式解集为{x|x=0}

2∴(b)当 k=-8时,原不等式即为2x-8x+8≤0, 原不等式解集为{x|x=2}

(3)当

k+8k>0即k<-8或k>0时

, 原不等式解集为{x|22

≤X≤

}

变式练习：x+ax+4>0

类型三：按根的大小分类

2例3：解关于x的不等式x+（a-1） x -a>0 分析：由于二次项的系数大于0，判别式大于或等于0，所以求根。因式分解可得根为-a和1，大小不确定，所以按-a和1的大小分类讨论。

解：不等式可化为（x+a)(x-1)>0 1

当-a<1,即a>-1时，解集为{x|x<-a或x>1} 当-a=1,即a=-1时，解集为{x|x≠1}

当-a>1,即a<-1时，解集为{x|x<1或x>-a} 223变式练习：x-(a+a)x+a>0 三：课堂小结：

解含参数的一元二次不等式的步骤：

（1）二次项系数为参数时，应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式。

(2)判断对应方程根的情况，若根情况不确定按判别式△>0,△=0,△<0分情况；若确定有根则常用因式分解，求出相对应方程的根，不能确定根的大小时，应讨论方程两根的大小关系，从而确定解集。

2四：思考题ax+（a-1） x -1>0 五：作业

►基础达标

1．不等式x2x＋1<0的解集为(

) A．(－1,0)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)

C．(－1,0) D．(－∞，－1) 答案：D 2．设m＋n＞0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)＞0的解是(

) A．x＜－n或x＞m

B．－n＜x＜m

C．x＜－m或x＞n D．－m＜x＜n

解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，

∵m＋n＞0，∴m＞－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象，得原不等式的解是－n＜x＜m.故选B. 答案：B 223．已知2a＋1＜0，关于x的不等式x－4ax－5a＞0的解集是(

) A．{x|x＜5a或x＞－a} B．{x|x＞5a或x＜－a} C．{x|－a＜x＜5a} D．{x|5a＜x＜－a} 22解析：方程x－4ax－5a＝0的两根为－a,5a，

1∵2a＋1＜0，∴a＜－. 2∴－a＞5a，结合y＝x－4ax－5a的图象，得原不等式的解集是{x|x＜5a或x＞－a}．故选A. 答案：A 4．不等式x＋mx＋>0恒成立的条件是________． 答案：0

22222m(k为常数)的定义域为R，则k的取值范围是________．

的定义域为R，即kx－6kx＋(k＋8)≥0对一切x∈Rk>0，满足Δ≤0，2解析：函数y＝kx－6kx＋k＋恒成立．当k＝0时，显然8>0恒成立；当k≠0时，则kk>0，236k－4k

即k＋

－3

6

解之得0

26．二次函数y＝ax＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：

x y 2 －2

0

－1

－4

0

－6

1

－6

2

－4

3

0

4 6

则不等式ax＋bx＋c>0的解集是________．

解析：从表中取三组数据(－1，－4)、(0，－6)、(1，－6)分别代入函数表达式得2a－b＋c＝－4，c＝－6，a＋b＋c＝－6，a＝1，解得b＝－1，c＝－6.

∴二次函数表达式为y＝x－x－6. 2由x－x－6>0得(x－3)(x＋2)>0，

∴x<－2或x>3. 答案：{x|x<－2或x>3} 27．关于x的不等式x(x－a－1)≤0的解集是________．

22解析：方程x(x－a－1)＝0的两根为0，a＋1，且

a2＋1＞0，故不等式x(x－a2－1)≤0的解集是

22{x|0≤x≤a＋1}． 答案：{x|0≤x≤a＋1} 8. 若关于x的不等式解析：注意到2x－a＞0的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)，则实数a＝________. x＋1x－a等价于(x－a)(x＋1)＞0，而解集为x＜－1或x＞4，从而a＝4. x＋1答案：4 9．已知实数a满足不等式－3＜a＜3，解关于x的不等式：

(x－a)(x＋1)＞ 0. 解析：方程(x－a)(x＋1)＝0的两根为－1，a. ①当a＜－1即－3＜a＜－1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞－1}；

②当a＝－1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；

③当a＞－1即－1＜a＜3时，原不等式的解集为

{x|x＜－1或x＞a}．

22310．解关于x的不等式：x－(a＋a)x＋a＞0(a＞0)．

2232解析：将不等式x－(a＋a)x＋a＞0变形为(x－a)(x－a)＞0，

22当0＜a＜1时，有a＞a，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a}；

2当a＝1时，a＝a＝1，所以不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；

22当a＞1时，有a＜a，所以不等式的解集为{x|x＜a或x＞a}．

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