一 数学归纳法精品学案

章节：

课题名称

课时：1

备课人:严立芳

第四讲 数学归纳法（1）

学习目标：

1、

了解归纳法、不完全归纳法、完全归纳法、数学归纳法及其原理、范围和基本步骤，理解数学归纳法是完全归纳法；

三维目标

2、

初步理解数学归纳法证明数学命题的两个步骤一个结论；

3、

通过对数学归纳法原理的探究，亲历知识的构建过程，激发学生学习热情，使学生喜欢数学。

了解归纳法、不完全归纳法、完全归纳法、初步理解数学归纳法证明数学命题的两重点目标

数学归纳法及其原理、范围和基本步骤，难点目标

个步骤一个结论

理解数学归纳法是完全归纳法

导入示标

学做思一：

自学探究 问题1.

学习教材（P46-47）, 理解数学归纳法概念: 1、归纳法：由一些特殊事例推出一般结论的推理方法特点：特殊→一般

2、不完全归纳法: 根据事物的部分(而不是全部)特例得出一般结论的推理方法叫做不完全归纳法 3、完全归纳法: 把研究对象一一都考查到了而推出结论的归纳法称为完全归纳法，完全归纳法是一种在研究了事物的所有(有限种)特殊情况后得出一般结论的推理方法，又叫做枚举法与不完全归纳法不同，用完全归纳法得出的结论是可靠的通常在事物包括的特殊目标三导

情况数不多时，采用完全归纳法

学做思二

问题2.数学归纳法: 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性：先证明当n取第一个值n0时命题成立；然后假设当n=k(kN*，k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立这种证明方法就叫做数学归纳法

问题3.数学归纳法的基本思想：

即先验证使结论有意义的最小的正整数n0，如果当n=n0时，命题成立，再假设当n=k(k≥n0，k∈N)时，命题成立 (这时命题是否成立不是确定的)，根据这个假设，如能推出当*

n=k+1时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于n0的正整数n0+1，n0+2，…，命题都成立

反思：数学归纳法是完全归纳法吗？为什么？举例说明。

问题4.用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题的步骤：

(1)证明：当n取第一个值n0结论正确；

(2)假设当n=k(k∈N，且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确

由(1)，(2)可知，命题对于从n0开始的所有正整数n都正确

数学归纳法被用来证明与自然数有关的命题: 递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉

学做思三

技能提炼

例1、设f（n）=*1111+++…+（n∈N *），那么f（n+1）－f（n）等于

n1n2n32n111111A

B

C

+

D

－

2n12n22n12n22n12n2

例2、用数学归纳法证明：

1111n．

2n12n12n1133557

例3、设a0为常数，且an=3n1－2an－1（n∈N*）

－求证：n≥1时，an=

引导学生小结：

1n－[3+（－1）n1·2n］+（－1）n·2n·a0

51、数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法；

2、主要有两个步骤、一个结论: 其中第一步是递推的基础，解决了特殊性；第二步是递推的依据，解决了从有限到无限的过渡。这两步缺一不可。只有第一步，属不完全归纳法；只有第二步，假设就失去了基础。

变式反馈

1、凸n边形有f（n）条对角线，则凸n+1边形有对角线条数f（n+1）为

A

f（n）+n+1

B

f（n）+n

C

f（n）+n－1

D

f（n）+n－2

（n+1）（n+2）·…·（n+n）=2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k+1”达标检测

2、用数学归纳法证明“左端需增乘的代数式为

A

2k+1

B 2（2k+1）

C

1.知识建构

2.能力提高

反思总结

3.课堂体验

同步练习

金考卷

2k12k3

D

k1k1课后练习

课堂探究

1．数学归纳法及其证明思路

剖析：归纳法是指由一系列有限的特殊事例得出的一般结论的推理方法．它包括不完全归纳法和完全归纳法．

不完全归纳法是根据事物的部分(而不是全部)特殊事例得出的一般结论的推理方法．比如在学习数列的知识时，我们可以通过观察数列的前几项来写数列的通项公式，这个过程用的就是不完全归纳法，我们知道仅根据一系列有限的特殊事例所得出的一般结论有时是不正确的．例如，一个数列的通项公式是an＝(n2－5n＋5)2，容易验证a1＝1，a2＝1，a3＝1，a4＝1.但如果由此作出结论——对任何n∈N＋，an＝(n2－5n＋5)2＝1都成立，那就是错误的，事实上，a5＝25≠1. 完全归纳法是根据事物的所有特殊事例得出一般结论的推理方法．

数学归纳法常与不完全归纳法结合起来使用，用不完全归纳法发现规律，用数学归纳法证明结论．

2．应用数学归纳法证明问题的条件和n0值的确定

剖析：数学归纳法一般用来证明某些涉及正整数n的命题，n可取无限多值，但不能简

1单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明，例如用数学归纳法证明(1＋)n(nn∈N＋)的单调性就难以实现，一般说来，从k＝n到k＝n＋1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则使用数学归纳法较容易，否则使用数学归纳法就有困难．

在运用数学归纳法时，要注意起点n并非一定取1，也可能取0,2等，要看清题目，比如证明凸n边形的内角和f(n)＝(n－2)×180°，这里面的n应不小于3，即n≥3，第一个值n0＝3. 归纳假设的使用是数学归纳法证明的关键，这也是能否由“n＝k”递推到“n＝k＋1”的关键，在证明过程中，需根据命题的变化或者在步骤的变化中，从数学式子的结构特点上，利用拼凑的方法，凑假设，凑结论，从而使“递推关系”得以顺利进行，命题得以证明．

题型一

用数学归纳法证明整除问题

【例1】用数学归纳法证明(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．

分析：证明一个与n有关的式子f(n)能被一个数a(或一个代数式g(n))整除，主要是找到f(k＋1)与f(k)的关系，设法找到式子f1(k)，f2(k)，使得f(k＋1)＝f(k)·f1(k)＋a·f2(k)，就可证得命题成立．

证明：(1)当n＝1时，原式＝(3×1＋1)×7－1＝27，能被9整除，命题成立．

(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥1)时，(3k＋1)·7k－1能被9整除，则当n＝k＋1时，

[3(k＋1)＋1]·7k1－1 ＋＝[21(k＋1)＋7]·7k－1 ＝[(3k＋1)＋(18k＋27)]·7k－1 ＝[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k. ∵[(3k＋1)·7k－1]和9(2k＋3)·7k都能被9整除，

∴[(3k＋1)·7k－1]＋9(2k＋3)·7k能被9整除，

即[3(k＋1)＋1]·7k1－1能被9整除，

＋即当n＝k＋1时命题成立．

由(1)(2)可知，对任何n∈N＋，命题都成立，即(3n＋1)·7n－1能被9整除(n∈N＋)．

反思

利用数学归纳法证明整除时，关键是整理出除数因式与商数因式积的形式．这往往要涉及“添项”与“减项”“因式分解”等变形技巧，凑出n＝k时的情形，从而利用归纳假设使问题得证．

题型二

用数学归纳法证明恒等式

【例2】已知{an}是由非负整数组成的数列，满足a1＝0，a2＝3，an＋1an＝(an－1＋2)(an－2＋2)，n＝3,4,5，…. (1)求a3；

(2)证明：an＝an－2＋2，n＝3,4,5，….

分析：用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题关键是第二步，要注意当n＝k＋1时，等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系，增加了哪些项，减少了哪些项，问题就会顺利解决．

解：(1)由题设，当n＝3时，得a3a4＝10. 因为a3，a4均为非负整数，

所以a3

的可能值为1,2,5,10. 3当a3＝1，则a4＝10，a5＝，与题设矛盾；

235当a3＝5，则a4＝2，a5＝，与题设矛盾；

23若a3＝10，则a4＝1，a5＝60，a6＝，与题设矛盾．

5所以a3＝2. (2)用数学归纳法证明：

当n＝3时，a3＝a1＋2，等式成立．

假设当n＝k(k≥3)时，等式成立，

即ak＝ak－2＋2，

因为ak＋1ak＝(ak－1＋2)(ak－2＋2)，

ak＝ak－2＋2≠0. 所以ak＋1＝ak－1＋2. 这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．

综上，可知对所有n≥3，n∈N＋，有an＝an－2＋2，即an＝an－2＋2，n＝3,4,5，…. 反思

利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点：一是要准确表述n＝n0时命题的形式，二是要准确把握由n＝k到n＝k＋1时，命题结构的变化特点．并且一定要记住：在证明n＝k＋1成立时，必须使用归纳假设. 题型三

用数学归纳法解决几何中的有关问题

【例3】平面内有n个圆，任意两个圆都相交于两点，任意三个圆不相交于同一点，求证：这n个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．

分析：因为f(n)为n个圆把平面分割成的区域数，那么再有一个圆和这n个圆相交，就有2n个交点，这些交点将增加的这个圆分成2n段弧，且每一段弧又将原来的平面区域一分为二，因此，增加一个圆后，平面分成的区域数增加2n个，即f(n＋1)＝f(n)＋2n. 有了上述关系，数学归纳法的第二步证明就很容易解决．

证明：(1)当n＝1时，一个圆将平面分成两个部分，且f(1)＝1－1＋2＝2，所以n＝1时命题成立．

(2)假设n＝k(k∈N＋，k≥1)时命题成立，即k个圆把平面分成f(k)＝k2－k＋2个部分．

则n＝k＋1时，在k＋1个圆中任取一个圆O，剩下的k个圆将平面分成f(k)个部分，而圆O与k个圆有2k个交点，这2k个交点将圆O分成2k段弧，每段弧将原平面一分为二，故得f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2. 所以当n＝k＋1时，命题成立．

由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，命题成立，即这几个圆将平面分成f(n)＝n2－n＋2个部分(n∈N＋)．

反思

对于几何问题的证明，可以从有限情形中归纳出一个变化的过程，或者说体会出是怎样变化的，然后再去证明，也可以用“递推”的办法，比如本题，n＝k＋1时的结果已经知道：f(k＋1)＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，用f(k＋1)－f(k)就可得到增加的部分，然后从有限的情况来理解如何增加的，也就容易理解了．