二 综合法与分析法教学内容

二

综合法与分析法

1．综合法

(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．

(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

(3)证明的框图表示：

用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→……→Qn⇒Q

2．分析法

(1)定义：证明题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法．

(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．

(3)证明过程的框图表示：

用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q⇐P1→P1⇐P2→P1⇐P3→……→得到一个明显成立的条件

[例1]

已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：

用综合法证明不等式

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1＋1·1＋1≥9. xy[思路点拨]

可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用x＋y取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式．

[证明]

法一：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2xy. 1∴xy≤. 4111111＋1＋＝1＋＋＋

∴xyxyxyx＋y12＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9. xyxyxy1当且仅当x＝y＝时等号成立．

2法二：∵x＋y＝1，x>0，y>0，

11x＋yx＋y1＋1＋＝1＋∴

1＋xyxyyxyx2＋2＋＝5＋2＋≥5＋2×2＝9. ＝xyxy1当且仅当x＝y＝时，

等号成立．

2

综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

1．已知a，b，c∈R＋，证明不明式：

a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时取等号．

证明：因为a>0，b>0，c>0，故有

a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号；

b＋c≥2bc，当且仅当b＝c时取等号；

c＋a≥2ca，当且仅当c＝a时取等号．

三式分边相加，得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.当且仅当a＝b＝c时取等号．

2．已知a，b，c都是实数，求证：

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1a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 3证明：∵a，b，c∈R，

∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc. c2＋a2≥2ca

将以上三个不等式相加得：

2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)①

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②

在不等式①的两边同时加上“a2＋b2＋c2”得：

3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2

1即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③

3在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)得：

(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca) 1即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④

31由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 3

11[例2]

已知x>0，y>0，求证(x2＋y2)>(x3＋y3). 23[思路点拨]

不等式两边是根式，可等价变形后再证明．分析每一步成立的充分条件．

11[证明]

要证明(x2＋y2)>(x3＋y3)，

23只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2. 即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6. 即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3. ∵x>0，y>0，∴x2y2>0. 即证3x2＋3y2>2xy. ∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy. ∴3x2＋3y2>2xy成立．

11∴(x2＋y2)>(x3＋y3). 23用分析法证明不等式

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(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．

(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．

3．求证：3＋7<25. 证明：分析法：

∵3＋7>0,25>0，∴要证

3＋7<25. ∴只需证明：(3＋7)2<(25)2. 展开得：10＋221<20. 即证221<10，

即证21<25(显然成立)．

∴3＋7<25. 4．a，b∈R＋，且2c>a＋b. 求证：c－c2－ab

证明：要证c－c2－ab

只需证－c2－ab

即证：|a－c|

两边平方得a2－2ac＋c2

也即证a2＋ab<2ac，即a(a＋b)<2ac. ∵a，b∈R＋，且a＋b<2c，∴a(a＋b)<2ac显然成立．

∴原不等式成立.

[例3]

设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：a＋1＋b＋1≤6. [思路点拨]

所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明．

[证明]

要证：a＋1＋b＋1≤6，

综合法与分析法的综合应用

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只需证(a＋1＋b＋c)2≤6，

即证(a＋b)＋2＋2ab＋a＋b＋1≤6. 3由a＋b＝1得只需证ab＋2≤，

21即证：ab≤. 4由a0，a＋b＝1，

得ab≤a＋b211＝，即ab≤成立．

424∴原不等式成立．

(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．

(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．

5．已知a，b，c都是正数，

求证：2a＋ba＋b＋c3－ab≤3. －abc23a＋ba＋b＋c3－ab≤3，

－abc23证明：法一：要证23只需证a＋b－2ab≤a＋b＋c－3abc，

3即－2ab≤c－3abc. 3移项，得c＋2ab≥3abc. 3由a，b，c为正数，得c＋2ab＝c＋ab＋ab≥3abc成立．

∴原不等式成立．

法二：∵a，b，c是正数，

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3∴c＋ab＋ab≥3cab·ab＝3abc. 3即c＋2ab≥3abc. 3故－2ab≤c－3abc. 3∴a＋b－2ab≤a＋b＋c－3abc. ∴2

a＋ba＋b＋c3－ab≤3. －abc233

1．设a，b∈R＋，A＝a＋b，B＝a＋b，则A，B的大小关系是(

) A．A≥B

C．A＞B

B．A≤B

D．A＜B

解析：A2＝(a＋b)2＝a＋2ab＋b，B2＝a＋b，

所以A2>B2. 又A＞0，B＞0，

∴A＞B. 答案：C 2．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是(

) ．abA.＋≥2 babaa＋bC.2＋2≤

ababb2a2

B.＋≥a＋b

ab112

D.2＋2≥

abab解析：A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0正确；C选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．

答案：C 3．设a＝2，b＝7－3，c＝6－2，那么a，b，c的大小关系是(

) A．a>b>c

C．b>a>c

B．a>c>b

D．ba

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解析：由已知，可得出a＝∵7＋3>6＋2>22. ∴b

7＋36＋211b1a4．设<<<1，则(

) 333A．aa

C．ab

11b1a解析：∵<<<1. 333aa－∴01. aaaaa∴a

B．aa

D．ab

a∵0<<1，a>0. baaaa∴<1.∴a

abba①a＋b＜ab；②|a|＞|b|；③a＜b；④＋＞2 ab其中正确的有________．

11解析：∵＜＜0，∴b＜a＜0. aba＋b＜0，∴ab＞0，|b|＞|a|.

故①正确，②③错误．

ba∵a，b同号且a≠b，∴，均为正．

abba∴＋＞2 abba·＝2. ab第7页

故④正确．

答案：①④

1116．已知a>0，b>0，若P是a，b的等差中项，Q是a，b的正的等比中项，是，的Rab等差中项，则P，Q，R按从大到小的排列顺序为________．

a＋b211解析：∵P＝，Q＝ab，＝＋，

2Raba＋b2ab∴R＝≤Q＝ab≤P＝，

2a＋b当且仅当a＝b时取等号．

答案：P≥Q≥R

7．设a>b>c，且11m＋≥恒成立，则m的取值范围是________．

a－bb－ca－c解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0. 又(a－11c)·a－b＋b－c＝[(a－b)＋(b－11c)]·a－b＋b－c≥2a－bb－c·211·＝4，当且仅当a－b＝b－c时取等号．

a－bb－c∴m∈(－∞，4]．

答案：(－∞，4] a＋bc＋ba＋c8．若a，b，c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 222证明：法一：(综合法) ∵a，b，c∈R＋，

∴a＋bc＋ba＋c≥ab＞0，＞cb≥0，≥ac＞0. 222又∵a，b，c是不全相等的正数，

∴a＋bc＋ba＋c··＞abc. 222a＋bc＋ba＋c2·2·2＞lg abc，

a＋bc＋ba＋c＋lg＋lg＞lg a＋lg b＋lg c. 222∴lg即lg 法二：(分析法) 要证lg a＋bc＋ba＋c＋lg ＋lg ＞lg a＋lg b＋lg c，

222第8页

即证lga＋bc＋ba＋c2·2·2＞lg abc成立．

a＋bc＋ba＋c只需证··＞abc成立．

222a＋bc＋ba＋c又∵≥ab＞0，≥cb＞0，≥ac＞0. 222∴a＋bc＋ba＋c··≥abc＞0.(*) 222又∵a，b，c是不全相等的正数，∴(*)式等号不成立．

∴原不等式成立．

xyz1119．已知x，y，z均为正数．求证：＋＋≥＋＋. yzzxxyxyz证明：因为x，y，z均为正数．

xy1xy2所以＋＝(＋)≥，

yzzxzyxzyz2同理可得＋≥，

zxxyxzx2＋≥，

xyyzy当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立．

将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

xyz111＋＋≥＋＋. yzzxxyxyz10．设实数x，y满足y＋x2＝0,0

1求证：loga(ax＋ay)<＋loga2. 8证明：因为ax>0，ay>0，

所以ax＋ay≥2 axy＝2 ＋ax－x2. 因为x－x2＝x(1－x)≤又因为0

x＋1－x212＝4，

11所以ax－x2≥a，当x＝时，等式成立．

4211但当x＝，ax≠a－x2，∴ax－x2>a. 281所以ax＋ay＞2a，又∵0

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1∴loga(ax＋ay)

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