一 比较法教案评析

第6课时

比较法、综合法、分析法证明不等式

1.掌握作差比较法及其原理,能够通过分解因式和配方变形判断出差与0的大小关系.

2.能够从基本定理和已知条件入手有条理地推理证明,通过证明过程锻炼学生严密地思维推理能力.

3.能够从要证明的不等式入手逐步分析出不等式成立的必要条件,能够按照分析法的步骤书写出分析过程,做到执果索因,提高我们分析、解决问题的能力.

公安部门在破案过程中针对不同的案件会采用不同的破案方法和破案手段,其中常用下列几种思维方式,一是分析导致结果的原因——执果索因;二是由因导果;三是与类似的案件进行比较.不等式的证明也有类似的做法.

问题1:比较法的两种形式以及比较法证明的基本步骤

比较法的两种形式: ①作差比较法,即作差与“0”比较.其依据是

.

②作商比较法,即作商与“1”比较.其根据是

.

作差比较法的步骤是:作差——变形(通过

、

、通分等手段变形)——判断差的正负;作商比较法的步骤是:作商——变形——判断商与1的大小(商式的分子分母均要为正).

问题2:从不等式的性质或定理(如基本不等式,绝对值不等式等)入手开始推理证明的方法称为

,综合法证明不等式是“由因导果”.综合法的书写过程是“因为……所以……”, 问题3:分析法证明不等式是“执果索因”,用分析法证明数学问题,要求相邻两步的关系是A⇐B,前一步是后一步的必要条件,后一步是前一步的充分条件,当然相互为充要条件也可以.分析法便于寻找解题思路,而综合法便于叙述.有时在题目中分析法和综合法要综合运用的,要注意在书写时,分析法的书写过程应该是“要证……需证……”,即使在一个题目中是边分析边说明也应该注意不要弄混.

1.a,b,c为互不相等的正数,且a2+c2=2bc,则下列关系中可能成立的是(

).

A.a>b>c

B.b>c>a

C.b>a>c

D.a>c>b

2.已知a∈R,b∈R,且a≠b,则下列结论正确的是(

).

A.a2+3ab>2b2

B.a5+b5>a3b2+a2b3

C.a2+b2≥2(a-b-1) D.+>2

3.若a>0,b>0,a+b=2,则下列不等式对一切满足条件的a,b恒成立的是

(写出所有正确命题的编号).

①ab≤1;②

+

≤

;③a2+b2≥2;④a3+b3≥3;⑤

+

≥2.

4.求证:

-

<

-

.

比较法证明不等式

已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:(ax+by)2≤ax2+by2.

综合法证明不等式

已知a,b均为正数,且a+b=1,证明:(a+)2+(b+)2≥.

分析法证明不等式

已知a>b>0,求证:

-

-

<- <.

已知a≥b>0,求证:2a3-b3≥2ab2-a2b.

已知a2+b2=1,c2+d2=1,求证:ab+cd≤1.

已知a>b>c,求证:

++>0.

-

-

-

1.设a,b,c是互不相等的正数,则下列不等式中不恒成立的是(

).

A.|a-b|≤|a-c|+|b-c|

B.a2+

+≥a+

C.

-

<

-

D.|a-b|+

≥2

-

2.设a,b为正数,且a+b≤4,则下列各式中正确的是(

).

A.+<1 C.+<2

B.+≥1 D.+≥2

3.设P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,则a,b所满足的条件为

.

4.设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ac≤;(2)++≥1.

(2014年·全国Ⅰ卷)若a>0,b>0,且

+

=

.

(1)求a3+b3的最小值; (2)是否存在a,b使得2a+3b=6?并说明理由.

考题变式(我来改编):

第6课时

比较法、综合法、分析法证明不等式

知识体系梳理

问题1:①a≥b⇔a-b≥0;a≤b⇔a-b≤0

②当b>0时,a≥b⇔≥1;a≤b⇔≤1

分解因式

配方

问题2:综合法

基础学习交流

1.C

2.C

3.①③⑤

4.略

重点难点探究

探究一:【解析】原不等式可变形为(ax+by)2-(ax2+by2)=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy.

因为a+b=1,所以a-1=-b,b-1=-a,

故(ax+by)2-(ax2+by2)=a(a-1)x2+b(b-1)y2+2abxy=-ab(x2+y2-2xy)=-ab(x-y)2≤0,当且仅当a=b时,等号成立.故原不等式得证.

【小结】在运用作差比较法证明不等式时,常常要进行分解因式或配方等变形技巧与0比较出大小关系.

探究二:【解析】(a+)2+(b+)2=4+a2+b2+(

+

)

2+b2+1++=4+a++++1

=4+a2+b2+=4+(a2+b2)+2+2(+)+(

+

)

≥4+

+2+4+2=,当且仅当a=b时,等号成立.

【小结】在证明的不等式的一边为常数时,常常运用基本不等式证明.

-

-

探究三:【解析】由<-

<,

-

-

-

-

<.即()2<(

-

)2<()2,

-

-

<

-

<.

,∴<2<.

得∵a>b>0,∴

∴

<1<即1+

<2<+1,即

<1<

(*).

-

-

<-

<.

∵a>b>0,∴(*)显然成立,故[问题]上述证明有什么错误?

[结论]上述证明过程缺少分析法必要的文字说明,写法不规范,与综合法过程混淆.

要证 -

-

<-

<,

-

-

<,

-

2

-

)<(

-

)2<()2.

-

-

<

-

<,

只需证即要证(又∵a>b>0,∴只需证

即要证

<1<

,即要证<2<,

即要证1+

<2<+1,即

<1<

,即要证<1<(*).

∵a>b>0,∴(*)显然成立,故 -

< - -

<

.

【小结】分析法证明不等式,实质上是寻求结论成立的一个充分条件.分析法通常采用“要证——只要证——即证——已知”的格式.

思维拓展应用

应用一:2a3-b3-(2ab2-a2b)=2a(a2-b2)+b(a2-b2)

=(a2-b2)(2a+b)=(a-b)(a+b)(2a+b),

∵a≥b>0,∴a-b≥0,a+b>0,2a+b>0,

从而(a-b)(a+b)(2a+b)≥0,即2a3-b3≥2ab2-a2b.

应用二:∵a2+b2≥2ab,c2+d2≥2cd,

∴a2+b2+c2+d2≥2(ab+cd),当且仅当a=b=c=d=时取“=”.又∵a2+b2=1,c2+d2=1,∴2(ab+cd)≤2,∴ab+cd≤1.

应用三:(分析法)为了证明

++>0,只需要证明+>.

-

-

-

-

-

-

>,>0,∴+>成立,∴++>0成立.

-

-

-

-

-

-

-

-

-

∵a>b>c,∴a-c>a-b>0,b-c>0,∴基础智能检测

1.D

2.B

3.ab≠1且a≠-2

4.略

全新视角拓展

(1)4

(2)不存在,理由略