三 排序不等式教学设计内容推荐

第八节

柯西不等式与排序不等式*（选考内容）

知识要点梳理

1.经典不等式，就是指那些表示某些基本不等关系，而且经常被当作推理依据，用来推导其他不等关系的不等式，它们都是属于不等式范畴的重要数学结论. 2.柯西不等式：

（1）（二维形式的柯西不等式）若a，b，c，d都是实数，则

(a2b2)(c2+d2)(acbd)2，

当且仅当adbc时，等号成立. （2）（柯西不等式的向量形式）设，是两个向量，则

||||||，

当且仅当是零向量，或存在实数k，使时，等号成立. （3）. （二维形式的三角不等式）设x1，y1，x2，y2R，那么

x12y12x22y22(x1x2)2(y1y2)2. （4）（一般形式的柯西不等式）设a1，a2，a3，，an，b1，b2，b3，bn是实数，则

(a12a22an2)(b12b22bn2)(a1b1a2b2anbn)2，

，2，，n)或存在一个数k，使得aikbi(i1，2，，n)时，等号当且仅当bi0(i1成立. 3.均值不等式：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即

a1a2n当且仅当a1a2anna1a2…an，

an时，等号成立. 4.排序不等式：设a1a2an，b1b2bn为两组实数，c1，c2，，cn是b1，b2，，bn的任一排列，那么

a1bna2bn1anb1a1c1a2c2ancna1b1a2b2anbn.

即“反序和≤乱序和≤顺序和”.

当且仅当a1a2an或b1b2bn时，反序和等于顺序和. 第

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疑难点、易错点剖析

1本节是选学选考内容，.教材分别介绍了四个经典不等式不等式：平均值不等式、三角不等式、柯西不等式、排序不等式，其中重点介绍柯西不等式和排序不等式.介绍两种经典不等式及其证明，通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题.考虑到本节是高考的选考内容，因此在教学中需要注意把握问题的难度，重点放在对经典不等式的基本的、简单的运用尤其是放在柯西不等式的简单运用上，强调解决问题的通性通法，而不必过分追求个别变形技巧. 2 对柯西不等式理解和认识

我们可以从以下几个方面可以对柯西不等式形成一个较全面的认识. 在研究方法上：遵循从特殊到一般的认识方式，首先讨论最简单的柯西不等式——二维形式的柯西不等式，继续讨论三维形式的柯西不等式，进而讨论一般形式的柯西不等式. 从研究内容来看：包括柯西不等式的数学含义（即所表示的不等关系）、表示方式（代数形式和向量形式）、几何意义（对二维和三维形式而言）、证明方法（不同形式选用不同的证法（略））、应用举例. 所蕴含的数学思想：柯西不等式的研究过程中包含了转化与化归思想、函数与方程思想、数形结合思想、从特殊到一般的归纳思想，通过这些思想的渗透，可以提高分析问题、解决问题的能力

直击考点

考点一

利用柯西不等式求最值

[例

1]

已知x4y3z2，求x2y2z2的最小值. 【思路分析】由x4y3z2以及x2y2z2的形式，联系柯西不等式，可以构造(124232)作为一个因式而解决问题. 【解】根据柯西不等式，有

(x2y2z2)(124232)(x4y3z)24，

42，即x2y2z2

26132xyz143当且仅当，即x,y,z时，x2y2z2取最小值.

13143131313所以x2y2z2【锦囊妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，正确理解柯西不等式，掌握它的结构特点，就能更灵活地应用它.对于特定的不等式问题，用柯西不等式求解往往显得简单明了. 例2.求函数y3x1123x的最大值. 思路分析：利用不等式求极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻求不等式等号成立的条件.这个函数的解析式是两部分的和，若能化为acbd的形式就能利用柯西不等式求其最大值. 第

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解：函数的定义域为[1,4]，且y0. 则

y3x134x

32(3)2(x1)2(4x)2

1236，

当且仅当3x134x时，等号成立，即x13时函数取最大值6.

422[例

3]

求函数y2sinx31cos2x的最大值. 【思路分析】因为1cos2x2cosx，自然会联系到三角恒等式sinxcosx1，联想到柯西不等式的结构特征，

而这个式子恰好具有柯西不等式的结构特征，所以可以利用柯西不等式来解决. 【解析】

y2sinx31cos2x

22sinx32cos2x

(sin2xcos2x)[22(32)2]22.

当且仅当sinxcos2x232，即tanx2，函数有最大值22.

3【锦囊妙计】先变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件，需要不断的学习与体会. 【举一反三】1.

（07东莞模拟）

已知a,b,c都是正数，且a2bc1,则最小值是 . 答案:642

2.已知a，bR，且ab4，求证：|acosbsin|2.

解：已知的恒等式与近乎显然的三角恒等式sincos1正好具备柯西不等式的结构特征，于是可利用柯西不等式解答. 22因为ab4，所以|acosbsin|22111的abc22(a2b2)(cos2sin2)412.

即|acosbsin|2.

考点二

利用柯西不等式进行证明

[例

4]

已知a1，a2，…，an都是实数，求证

(a1a2…an)2n(a12a22…an2).

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【思路分析】与柯西不等式的结构想比较，发现它符合柯西不等式的结构，因此可用柯西不等式来证明。

【证明】根据柯西不等式，有

(1212…12)(a1a2…an)2(1a11a2…1an)2，

n所以n(a12a22…an2)(a1a2…an)2。

【锦囊妙计】准确把握柯西不等式的结构特征，通过恰当变形，构造两组柯西数组是运用柯西不等式的关键所在. 【举一反三】3.已知a，b，c是不全相等的正数，证明：

a2b2c2abbccd.

解：欲证的不等式两边都是由a，b，c这三个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序，启发我们可以用柯西不等式进行证明；如果同时考虑式子两边的结构，把a看成2aa，则不等式左右两边的结构一致，都是两个正数之积的和，可以用排序不等式证明. 【证法一】根据柯西不等式，有

(a2b2c2)(b2c2a2)(abbcca)2.

因为a，b，c是不全相等的正数，所以等式所以(a2b2c2)2(abbcca)2，

即abcabbcca.

【证法二】因为a，b，c是不全相等的正数，不失一般性，设abc，则由排序不等式知，顺序和不小于乱序和，即aabbccabbcca.

由于a，b，c不全相等，所以等号不成立. 所以abcabbcca.

考点三

均值不等式的运用

222222abc不成立，

bca6(x0)的最小值. x28解：x0,2x0,20，于是

x888y4x22x2x2332x2x2634.

xxx8当且仅当2x2x2，即x34时，函数的最小值是634. x锦囊妙计：

在运用abc33abc求最值时，要注意满足“一正、二定、三相等”的条件，具体地说，要注意a，b，c是正变数，三个正变数之积是常数，那么当且仅当这三个[例5]

求函数y4x正变数相等时，它们的和取得最小值，同时注意相等时的自变量的取值属于给定的范围内。第

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本题常见的错误是：由均值不等式得，y3x小值为6.事实上这种变形使方程2xx为了保证等号成立，一般需要平均拆项.

44432xx2xx36，故最x2x2x24无解，即等号不能成立，所以最小值不是6，x2考点四

排序不等式的运用（选做）

[例

6]

设a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，求证：

anaa3111a12…1…

22223n23n【思路分析】因此它们可以从小到大地排序，a1，a2，…，an是n个互不相同的正整数，，2，2，…，2，观察问题中的式子，可以猜想到与a1，a2，…，an对应的另一列数是1由此可以联想到用排序不等式证明的思路. 【解答】

设b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的一个排列，且满足b1

11231n111>…>，

22223nanbnaa3b2b3…b…故由排序不等式，得

a12

122222223n23n111111112232…n2=1….

23n23n又因1【锦囊妙计】在证明不等式的过程中，往往将“n个互不相同的正整数”进行排序，这种排序并不失一般性，是证明中常常使用的一个技巧.本题较难之处是如何想到构造新的排列b1，b2，…，bn，这需要考生从正确的方向进行分析，根据分析的发展逐步想到，充分利用问题的条件，挖掘条件背后更深的内容，为使用已有经典不等式创造条件. 举一反三：4.设a1，a2，…，an为实数，b1，b2，…，bn是a1，a2，…，an的任一排列，则乘积的值a1b1a2b2…anbn不会超过

. 解：本题主要检测排序不等式，只要领会式子a1b1a2b2…anbn是乱序和，那么由排序不等式可知，它不会超过顺序和a12a22…an2，即填a12a22…an2.

紧扣考纲大演练

一.单项选择题

111的最小值是

（

）

abc1（A）

9

（B）

3

（C）

1

（D）

9解：问题中有条件abc1，由于常数1的特殊性，用abc去乘任何数或式子，都111111不会改变它们的值.根据需要可以应用这个条件，即有(abc)()，abcabc1．设a，bR，abc1，那么于是就能使用柯西不等式了. 第

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∵abc1，∴111111(abc)()(111)29，

abcabc当且仅当ab=c时，等号成立. ∴选（A）

2．（2006陕西）已知不等式(xy)(1xa)9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的y最小值为（

）

（A）

2

（B）

4

（C）

6

（D）

8 解：已知不等式(xy)(1xa)9对任意正实数x，y恒成立，则由柯西不等式得，y1a(xy)()(xxy得，

1yxa2)(1a)2，依题意，得(1a)29，解不等式ya≥2或a≤－4(舍去)，所以正实数a的最小值为4．

∴选（B）. 3.已知:a2b21,x2y21,则axby的取值范围是：（

B

）

A.[0，2]

B.[-1，1]

C.[-2，2]

D.[0，1] 利用柯西不等式：1a2b2x2y2axbyaxby1，选B。

2112b的最小值是（ C ）

b2a3392 B. C. D.4

A.2224.若a＞0，b＞0，则a11119利用柯西不等式：a2b，

2bab2a2ab2111911ab时，a2b当且仅当a2b有最小值。

b2a22b2a15．已知正数a，b满足ab，则1－3a13b的最大值是（

）

3（A）

22

（B）

2

（C）

22

（D）

2

2解：根据题目的结构特点，联系常数1对乘法的不变性，通过构造向量，利用柯西不等式的向量形式求解，体现了经典不等式应用的广泛性. 令向量(13a，13b)，(1,1)，则由柯西不等式的向量形式知|

|||||，－3a13b即1(1－3a)2(13b)212122.

当且仅当存在实数k，使得k，即k1,ab1时，取等号. 6第

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所以，1－3a13b的最大值为2.

故选（A）. 6．(07广州二模题改编)已知a,b,x,yR，ab4，axby6，则x2y2的最小值为(

)．

A3

B 81

C.9

D.答案：C 二、填空题

7.

(07佛山二模)已知x,y,z为正数，且满足x22y23z24，则x2y3z的最大值是_______________.

答案:

26

8．(07深圳市模拟)已知实数x、y、z满足x2y3z1，则x2y2z2的最小值为

；

答案：221

91

149．若x22y23，则2xy最大值是__________ 21362222，也可有三角换元或数形结合。

x2y22xyx2y2210.（07广东高考仿真题）已知2xy3z6，则xyz的最小值为___________.

答案：22218

711的最小值。2ab

三、解答题

11.（07广州市一模题改编）设a,b为正数,且ab1,求解法一：

a,b为正数,且ab1,利用柯西不等式：

解法二：11113ba313=（)（ab）=++22.2ab2ab22ab2221131112）a2，

b(1)∵（a＋b）·（=2ab22ab2113的最小值是+2。∴，

2ab2，2，…，10)个人的水桶13．（选做题）有10人各拿一只水桶去接水，设水龙头注满第i(i1第

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需要ti分钟，假定这些ti各不相同.问只有一个水龙头时，应如何安排10人的顺序，使他们等候的总时间最少？这个最少的总时间等于多少？

解：这是一个实际问题，需要将它数学化，即转化为数学问题.若第一个接水的人需要t1分，接这桶水时10人所需等候的总时间是10t1分；第二个接水的人需t2分，接这桶水时9人所需等候的总时间是9t2分；如此继续下去，到第10人接水时，只有他一人在等，需要t10分.所以，按这个顺序，10人都接满水所需的等到总时间（分）是

10t19t2…2t9t10.

这个和数就是问题的数学模型，现在考虑t1，t2，…，t10满足什么条件时这个和数最小. 因为等待总时间（分）是

10t19t2…2t9t1

0.根据排序不等式，当t1t2…t9t10时，总时间取最小值.也就是说，按水桶的大小由小到大依次接水，10人等候的总时间最少，这个最少的总时间是10t19t2…2t9t10，其中t1t2…t9t10. 第

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