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高二数学不等式复习讲义

赵县第六中学

张晓谦

一、

知识点

1．不等式性质

2．算术平均数与几何平均数定理：

3．证明不等式的常用方法：

4．不等式的解法

二、常见题型专题总结：

（一）利用不等式性质，判断其它不等式是否成立

1、a、b∈R,则下列命题中的真命题是（

C ）

A、若a>b，则|a|>|b| B、若a>b，则1/a<1/b C、若a>b，则a3>b3

D、若a>b，则a/b>1 C、(1a)b >(1a)b/2 D、(1a)a>(1b)b （二）比较大小

1、若0<α<β<π/4,sinα+cosα=a,sinβ+cosβ=b，则（ A

）

A、a＜b

B、a＞b

C、ab＜1

D、ab＞2 （三）利用不等式性质判断P是Q的充分条件和必要条件

1、设x、y∈R,判断下列各题中，命题甲与命题乙的充分必要关系

⑴命题甲：x>0且y>0，

命题乙：x+y>0且xy>0 充要条件

⑵命题甲：x>2且y>2，

命题乙：x+y>4且xy>4

充分不必要条件

（四）范围问题

1、设60＜a＜84,－28＜b＜33,求：a+b,a－b,a/b的范围。

（五）均值不等式变形问题

1、当a、b∈R时,下列不等式不正确的是（ D

）

A、a2+b2≥2|a|?|b| B、(a/2+b/2)2≥ab

C、(a/2+b/2)2≤a2/2+b2/2 D、log1/2(a2+b2)≥log1/2(2|a|?|b|)

（六）求函数最值

1、已知实数a、b、c、d满足a+b=7,c+d=5,求(a+c)2+(b+d)2的最小值。

（七）实际问题

1、（高考）如图，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2cm的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为am，高度为bm，已知流出的水中该杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比，现有制箱材料60m2，问当a、b各为多少米时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）。

解一：设流出的水中杂质的质量分数为y，

由题意y=k/ab，其中k为比例系数(k>0) 据题设2×2b+2ab+2a=60(a>0,b>0) 由a>0,b>0可得0

当a=6时,b=3，

综上所述，当a=6m,b=3m时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小。

（八）比较法证明不等式

1、已知a、b、m、n∈R+,证明：am+n+bm+n≥ambn+anbm

变：已知a、b∈R+,证明：a3/b+b3/a≥a2+b2

（九）综合法证明不等式

1、已知a、b、c∈R，且a+b+c=1，求证：a2+b2+c2≥1/3

（十）分析法证明不等式

1、已知a、b、c为不全相等的正数，求证：bc/a+ac/b+ab/c>a+b+c （十一）反证法、放缩法、构造法、判别式法、换元法等证明不等式

1、设f(x)=x2+ax+b，求证：|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于1/2。

（十二）解不等式

1、解不等式：

2、解关于x的不等式：

（十三）不等式应用

不等式的应用主要有三个方面：一是能转化为求解不等式（组）的有关问题（如求函数的定义域、讨论一元二次方程的根的分布等）；二是能转化为不等式证明的有关问题（如证明函数的单调性）；三是能转化为重要不等式的极端情形解决的最值问题。

1、已知f(x)的定义域是（0,1］，则函数的定义域是_____________。

［－5，－2)∪( 1,4］

（十四）恒成立问题

1、若不等式a

）

A、a≥1 B、a＞1

C、0＜a≤1

D、a＜1

（十五）绝对值不等式定理中等号成立的问题

1、解关于x的不等式|x+log2x|=x+|log2x| （十六）绝对值不等式的证明

1、设a∈R，函数f(x)=ax2+x－a(－1≤x≤1).

⑴若|a|≤1,求证|f(x)|≤5/4；

⑵若函数f(x)有最大值17/8，求实数a的值。

（十七）探索性问题

1、是否存在自然数k，使得不等式对一切正整数n都成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由。解：令∴f(n+1)>f(n)，即f(n)在N＋上是增函数，∴f(n)的最小值是f(1) 又f(1)=1/2+1/3+1/4=13/12 故对一切正整数n使得f(n)>2a－5的充要条件是13/12>2a－5，∴a<73/24 故所求自然数a的最大值是3。

三、数学思想与方法

（一）分类讨论的思想：

1、设f(x) = 1+logx3,g(x)=2logx2，其中x＞0且x≠1，试比较f(x)与g(x)的大小。

（二）数形结合的思想

1、关于x的方程x2x(m＋1)＝0只在［－1,1］上有解，则实数a的取值范围是（

）

A、［－5/4,+∞) B、(5/4,1) C、［－5/4，1］

D、(－∞，1］

（三）函数与方程的思想

1、函数f(x)=lg(x2+ax+1)的值域为R，求实数a的取值范围。

（四）转化与化归思想

1、关于x的方程4x+(m－3)?2x+m=0有两个不等的实数根，求实数m的取值范围。

（五）换元的思想

1、解不等式：

变：关于x的不等式的解集为［－5/2,2），求实数a、b的值。2、（六）1的代换

（六）特殊与一般的思想

1、已知a、b、c ∈R,函数f (x) = ax2 + bx + c, g(x) = cx2+bx + a, 当|x| ≤1时，有|f(x)≤2。

（1）求证：|g(1)| ≤ 2；（2）求证：当|x| ≤ 1时，|g(x)|≤ 4.

证：（1）∵当|x| ≤1时，|f(x)|≤2,∴|f(1)|≤2

又|f(1)|＝|g(1)|

∴|g(1)|≤2

（2）∵f(x)= ax2+bx+c ∴f(1)= a+b+c,f(1)= ab+c, f(0)= c ∴a= [f(1)+f(-1) -2f(0)]/2,b= [f(1)-f(-1)]/2 ∵|x|≤1时|f(x)|≤2 ∴|f(1)|≤2,|f(-1)|≤2,|f(0)|≤2

∴|g(x)|=|cx2+bx+a| =|x2f(0)+[f(1)-f(-1)]x/2+[f(1)+f(-1)-2f(0)]/2| =|(x2－1)f(0)+(x+1)f(1)/2+(x-1)f(-1)/2| ≤|(x2－1)f(0)|+|(x+1)f(1)/2|+|(x-1)f(-1)/2| ≤|(x+1)/2||f(1)| +|(x-1)/2||f(-1)|+|(1－x2)||f(0)| ≤x+1+1-x+2 = 4 小结：对于二次函数f(x)=ax2+bx+cc=f(0)2a=f(1)+f(－1)－2f(0) 2b=f(1)f(1)