1.3 二项式定理（通用）优质课教学设计

1.3.1二项式定理

一、教学目标

1.会证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式. 二、课时安排 2课时

三、教学重点

理解二项式定理及相关定义．

四、教学难点

会用二项式定理及其展开式的通项公式解决实际问题．

五、教学过程

（一）导入新课

初中学***方公式和立方公式，上一节又学习了组合数公式，大家思考一下：把完全平方公式和立方公式的系数用组合数表示出

。

(a+b)2=a2+2ab+b2=C02a2+C12ab+C22b2 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=C03a3+C13a2b+C23ab2+C33b3 （二）讲授新课

1(ab)1abC10aC1b；

02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b

031233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC32ab2C3b

二项式定理(ab)C4aC4abC4abC4abC4b

. . . . . . 0n1n(ab)nCnaCnab0n1n所以，(ab)nCnaCnabrnrrCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

nnCnb(nN)，

404132223344这个公式所表示的规律叫二项式定理，

等式的左边叫做二项式；

等式的右边叫做二项展开式；

012n叫二项式系数，

Cn、Cn、Cn、、CnrnrrrnrrTr1CnabCnab叫二项展开式的通项

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思考：项的系数与二项式系数的区别。 （三）重难点精讲

35例1、(1)用二项式定理展开2x－2；

2x(2)化简：Cn(x＋1)－Cn(x＋1)0n1n－1n－2n－r＋C2－…＋(－1)rCrn(x＋1)n(x＋1)＋…＋(－1)Cn. 解：

(1)2x－nn3533505145－2＝C5(2x)＋C5(2x)·2＋…＋C5－2

2x2x2x180135405243＝32x5－120x2＋x－x4＋8x7－32x10.

(2)原式＝Cn(x＋1)＋Cn(x＋1)r0n1n－12n－(－1)＋Cn(x＋1)n－2(－1)2＋…＋Crn(x＋1)n(－1)r＋…＋Cn(－1)n＝[(x＋1)＋(－1)]n＝xn. 变式练习1 3x＋141.(1)求的展开式；

x(2)化简：1＋2Cn＋4Cn＋…＋2Cn. 12nn【解】

(1)法一：3x＋13414(3x)＋C4

xx1212＝81x＋108x＋54＋＋2. 141123041322＝C4(3x)＋C4(3x)·＋C4(3x)·＋C4xxxxx3x＋14法二：＝xxx＋x2x41432＝2(81x＋108x＋54x＋12x＋1) x1212＝81x＋108x＋54＋＋2. (2)原式＝1＋2Cn＋2Cn＋…＋2Cn＝(1＋2)＝3. 16例2、 (1)求二项式2x－的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数；

122nnnnx第

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193(2)求x－的展开式中x的系数. x解

(1)由已知得二项展开式的通项为

31rr6－r6－r3－ rTr＋1＝C6(2x)·－＝(－1)rCr·x2，

6·2x9∴T6＝－12·x－2. ∴第6项的二项式系数为C6＝6，

第6项的系数为C6·(－1)·2＝－12. (2)Tr＋1＝C9xr9－r551rrr9－2r·－＝(－1)·C9·x，

x333∴9－2r＝3，∴r＝3，即展开式中第四项含x，其系数为(－1)·C9＝－84. 变式练习2. (1＋2x)的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项. 解

T6＝Cn(2x)，T7＝Cn(2x)，依题意有Cn2＝Cn2⇒n＝8. ∴(1＋2x)的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C8(2x)＝1 120x. C82≥C82，设第r＋1项系数最大，则有rrr＋1r＋1C82≥C82，rrr－1r－1n44455665566n

∴5≤r≤6.

∴r＝5或r＝6(∵r＝0,1,2，…，8). ∴系数最大的项为T6＝1 792x，T7＝1 792x. （四）归纳小结

（五）随堂检测

1.在(x－3)的展开式中，含x的项的系数是(

) 6464A．

27C10 B.27C10 C.

9C10 D.9C10

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x－182.在23的展开式中常数项是(

) xA.－28 B.－7 C.7 D.28 2163.在2x－的展开式中，中间项是________. x2194.在x－的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________. 2x六、板书设计

二项式定理

1.定理

2.二项式系数

3.通项

例2详细解答

学生活动区域

七、作业布置

必做：课本练习A组2—4题 选做：课本练习B组1、2、3题 八、教学反思

二项式定理概念的形成和推导一定要把主动权交给学生，教师适当补充，让学生感受从特殊到一般的思维过程和体会化归的数学思想.同时强调：

(1)二项式系数，项的系数易混淆

(2)第r+1项和第r项易混淆。

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