2.2.2 反证法课堂实录【3】

第二章推理与证明

2.2 直接证明与间接证明2

------------ 学

案

一、学习目标

(1)了解间接证明的一种基本方法──反证法；

(2)了解反证法的思考过程与特点,会用反证法证明数学问题. 二、自主学习

1．反证法

假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这种证明方法叫做反证法．

2．反证法常见的矛盾类型

反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等．

[化解疑难] 1．反证法实质

用反证法证明命题“若p，则q”的过程可以用以下框图表示：

肯定条件p，导致逻“p且綈q”“若p，则―→―→―→

否定结论q辑矛盾为假q”为真2．反证法与逆否命题证明的区别

反证法的理论依据是p与綈p真假性相反，通过证明綈p为假命题说明p为真命题，证明过程中要出现矛盾；逆否命题证明的理论依据是“p⇒q”与“綈q⇒綈p”是等价命题，通过证明命题“綈q⇒綈p”为真命题来说明命题“p⇒q”为真命题，证明过程不出现矛盾．

三、合作探究

探究1：用反证法证明否定性命题

[例1]

设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均为整数，且f(0)，f(1)均为奇数．

求证：f(x)＝0无整数根．

[证明]

假设f(x)＝0有整数根n，则an2＋bn＋c＝0(n∈Z)，而f(0)，f(1)均为奇数，即c为奇数，a＋b为偶数，则an2＋bn＝－c为奇数，即n(an＋b)为奇数，

∴n，an＋b均为奇数．又∵a＋b为偶数，∴an－a为奇数，即a(n－1)为奇数，

∴n－1为奇数，这与n为奇数矛盾．∴f(x)＝0无整数根．

[类题通法] 1．用反证法证明否定性命题的适用类型

一般地，当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明．

2．反证法的一般步骤

1

用反证法证明命题时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导出逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题)的过程．这个过程包括下面三个步骤：

(1)反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真；

(2)归谬——由“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾；

(3)存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．

即反证法的证明过程可以概括为：反设——归谬——存真．

[活学活用1]设a，b，c，d∈R，且ad－bc＝1. 求证：a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.

证明：假设a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＝1. 因为ad－bc＝1，所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd＋bc－ad＝0，

即(a＋b)2＋(c＋d)2＋(a－d)2＋(b＋c)2＝0，

所以a＋b＝0，c＋d＝0，a－d＝0，b＋c＝0，

则a＝b＝c＝d＝0，这与已知条件ad－bc＝1矛盾．故假设不成立，

所以a2＋b2＋c2＋d2＋ab＋cd≠1.

探究2：用反证法证明唯一性命题

:[例2]

已知a≠0，求证关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．

b[证明]

由于a≠0，因此方程ax＝b至少有一个实根x＝. a如果方程不只有一个实根，不妨假设x1，x2是它的不同的两个根，

从而有ax1＝b，ax2＝b，两式作差得a(x1－x2)＝0. 因为x1≠x2，从而a＝0，这与已知条件a≠0矛盾，从而假设不成立，原命题成立．

即当a≠0时，关于x的方程ax＝b有且只有一个实根．

[类题通法] 用反证法证明唯一性命题的适用类型

(1)当证明结论是“有且只有”“只有一个”“唯一”等形式的命题时，由于反设结论易于导出矛盾，所以用反证法证明唯一性比较简单．

(2)证明“有且只有一个”的问题，需要证明两个方面，即存在性问题和唯一性问题两个方面．

[活学活用2]用反证法证明：过已知直线a外一点A有且只有一条直线b与已知直线a平行．

证明：由两条直线平行的定义可知，过点A至少有一条直线与直线a平行．

假设过点A还有一条直线b′与已知直线a平行，即b∩b′＝A，b′∥a. 因为b∥a，由平行公理知b′∥b.这与假设b∩b′＝A矛盾，

所以假设错误，原命题成立. 探究3：用反证法证明“至少”“至多”等存在性命题

[例3]

已知a1＋a2＋a3＋a4＞100，求证：a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25. [证明]

假设a1，a2，a3，a4均不大于25，

2

即a1≤25，a2≤25，a3≤25，a4≤25，则a1＋a2＋a3＋a4≤25＋25＋25＋25＝100，

这与已知a1＋a2＋a3＋a4＞100矛盾，

故假设错误．所以a1，a2，a3，a4中至少有一个数大于25. [类题通法] 常见“结论词”与“反设词”

结论词

反设词

结论词

反设词

结论词

反设词

[活学活用3] 已知函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增函数．求证：函数y＝f(x)在区间(a，b)上至多有一个零点．

证明：假设函数y＝f(x)在区间(a，b)上至少有两个零点，设x1，x2(x1≠x2)为函数

y＝f(x)在区间(a，b)上的两个零点，且x1＜x2，则f(x1)＝f(x2)＝0. 因为函数y＝f(x)在区间(a，b)上为增函数，

x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，∴f(x1)＜f(x2)，与f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，

假设不成立，故原命题正确．

四、自主小测

1．应用反证法推出矛盾的推导过程中，可以把下列哪些作为条件使用(

) ①结论的反设；②已知条件；③定义、公理、定理等；④原结论．

A．①②

C．①②③

B．②③

D．①②④

至少有一个

一个也没有(不存在)

只有一个

至多有一个

至少有两个

对所有x成立

至少有n个

至多有(n－1)个

对任意x不成立

存在某个x成立

p或q 綈p且綈q

p且q

綈p或綈q

至多有n个

至少有(n＋1)个

没有或至少有两个

存在某个x不成立

都是

不都是

一定是

不一定是

2．用反证法证明命题“a，b∈N，如果ab可被5整除，那么a，b至少有1个能被5整除”，则假设的内容是(

) A．a，b都能被5整除

B．a，b都不能被5整除

C．a不能被5整除

D．a，b有1个不能被5整除

3．下列命题适合用反证法证明的是________(填序号)．

x－2①已知函数f(x)＝ax＋(a＞1)，证明：方程f(x)＝0没有负实数根；

x＋1

3

1＋x1＋y②若x，y∈R，x＞0，y＞0，且x＋y＞2，求证：和中至少有一个小于2；

yx③关于x的方程ax＝b(a≠0)的解是唯一的；

④同一平面内，分别与两条相交直线垂直的两条直线必相交．

4．已知平面α∩平面β＝直线a，直线b⊂α，直线c⊂β，b∩a＝A，c∥a，求证：b与c是异面直线，若利用反证法证明，则应假设________．

5．若下列三个方程：x2＋4ax－4a＋3＝0，x2＋(a－1)x＋a2＝0，x2＋2ax－2a＝0中至少有一个方程有实根，试求实数a的取值范围．

参考答案

1解析：选C

除原结论不能作为推理条件外其余均可．

2解析：选B

用反证法只否定结论即可，而“至少有1个”的反面是“1个也没有”，故B正确．

3解析：①是“否定”型命题；②是“至少”型命题；③是“唯一”型命题，且题中条件较少；④中条件较少不足以直接证明，因此四个命题都适合用反证法证明．

答案：①②③④

4解析：∵空间中两直线的位置关系有3种：异面、平行、相交，∴应假设b与c平行或相交．

答案：b与c平行或相交

5解：若三个方程均无实根，

Δ1＝a－－4a＋＜0，2－4a2＜0，则Δ2＝a－Δ3＝a2－－2a＜02

1⇒a＜－1或a＞，3－2＜a＜031－＜a＜，22

3⇒－＜a＜－1. 233，

－＜a＜－1a≤－或a≥－1设A＝a2，则∁RA＝a23a≤－或a≥－1. 故所求实数a的取值范围是a2

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