复习参考题教学设计(教案)

第3节

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

最新考纲

1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组；2.了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组；3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决.

知

识

梳

理

1.二元一次不等式(组)表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域(半平面)不含边界直线.不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域(半平面)包括边界直线.

(2)对于直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，使得Ax＋By＋C的值符号相同，也就是位于同一半平面内的点，其坐标适合同一个不等式Ax＋By＋C>0；而位于另一个半平面内的点，其坐标适合另一个不等式Ax＋By＋C<0. (3)由几个不等式组成的不等式组所表示的平面区域，是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.

2.线性规划的有关概念

名称

线性约束条件

目标函数

线性目标函数

可行解

可行域

最优解

线性规划问题

意义

由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组，是对x，y的约束条件

关于x，y的解析式

关于x，y的一次解析式

满足线性约束条件的解(x，y) 所有可行解组成的集合

使目标函数达到最大值或最小值的可行解

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题

[常用结论与微点提醒] 1.画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证.

zz2.在通过求直线的截距b的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距b取zz最大值时，z也取最大值；截距b取最小值时，z也取最小值；当b<0时，截距b取z最大值时，z取最小值；截距b取最小值时，z取最大值.

诊

断

自

测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)不等式Ax＋By＋C＞0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方.(

) (2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的.(

) (3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上.(

) (4)在目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距.(

) 解析

(1)不等式x－y＋1>0表示的平面区域在直线x－y＋1＝0的下方.

z(4)直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距是b. 答案

(1)×

(2)√

(3)√

(4)×

2.下列各点中，不在x＋y－1≤0表示的平面区域内的是(

) A.(0，0)

B.(－1，1)

C.(－1，3)

D.(2，－3) 解析

把各点的坐标代入可得(－1，3)不适合，故选C. 答案

C x－3y＋6≥0，3.(教材习题原题)不等式组表示的平面区域是(

) x－y＋2<0

解析

x－3y＋6≥0表示直线x－3y＋6＝0及其右下方部分，x－y＋2＜0表示直线x－y＋2＝0左上方部分，故不等式表示的平面区域为选项B. 答案

B x＋2y≤1，4.(2017·全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件2x＋y≥－1，则z＝3x－2y的最小值为x－y≤0，________.

解析

x＋2y≤1，不等式组2x＋y≥－1，表示的平面区域如图所示.

x－y≤0

3z3z由z＝3x－2y得y＝2x－2，当直线y＝2x－2过图中点A时，纵截距最大，此时z2x＋y＝－1，取最小值.由解得点A坐标为(－1，1)，此时z＝3×(－1)－2×1＝x＋2y＝1－5.

答案

－5

5.(2018·石家庄质检)若x，y________.

x－y＋1≥0，满足约束条件x－2≤0，则x＋y－2≥0，yz＝x的最大值为yy－0解析

作出不等式组表示的平面区域，如图所示阴影部分，z＝x＝，表示区x－0x－y＋1＝0，13域内的点与原点连线的斜率，易知zmax＝kOA，由得A2，2，

x＋y－2＝0，32kOA＝1＝3，∴zmax＝3. 2

答案

3

考点一

二元一次不等式(组)表示的平面区域

【例1】

(1)不等式(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)，应是下列图形中的(

)

x＋y－2≤0，4(2)若不等式组x＋2y－2≥0，表示的平面区域为三角形，且其面积等于3，则x－y＋2m≥0m

的值为(

) A.－3

B.1 4C.3

D.3 x－2y＋1≥0，x－2y＋1≤0，解析

(1)(x－2y＋1)(x＋y－3)≤0⇒或画出平面区x＋y－3≤0x＋y－3≥0.域后，只有C符合题意.

(2)如图，要使不等式组表示的平面区域为三角形，则－2m＜2，则m＞－1，

x＋y－2＝0，x＝1－m，由解得即A(1－m，1＋m).

x－y＋2m＝0，y＝1＋m，24x＝3－3m，x＋2y－2＝0，由解得

22x－y＋2m＝0，y＝3＋3m，22124即B3－3m，3＋3m，所围成的区域为△ABC，则S△ABC＝S△ADC－S△BDC＝(2＋2121422m)(1＋m)－2(2＋2m)·3(1＋m)＝3(1＋m)＝3，

解得m＝－3(舍去)或m＝1.故选B. 答案

(1)C

(2)B 规律方法

1.二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域.

2.求平面区域的面积：

(1)首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；

(2)对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和.

【训练1】

(2018·郑州预测)若不等式x2＋y2≤2所表示的平面区域为M，不等式

x－y≥0，组x＋y≥0，表示的平面区域为N，现随机向区域N内抛一粒豆子，则豆子落在y≥2x－6区域M内的概率为________.

解析

作出不等式组与不等式表示的可行域如图阴影部分所示，平面区域N的面π11积为2×3×(6＋2)＝12，区域M在区域N内的面积为4π(2)2＝2，故所求概率π2πP＝12＝24.

π答案

24

考点二

求目标函数的最值问题(多维探究) 命题角度1

求线性目标函数的最值

x＋3y≤3，【例2－1】

(2017·全国Ⅰ卷)设x，y满足约束条件x－y≥1，

则z＝x＋y的最y≥0，大值为(

) A.0

B.1

C.2

D.3 解析

根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分(含边界)，则当目标函数z＝x＋y经过A(3，0)时取得最大值，故zmax＝3＋0＝3，故选D.

答案

D 命题角度2

求非线性目标函数的最值

x＋y≤2，【例2－2】

(1)若变量x，y满足2x－3y≤9，则x2＋y2的最大值是(

x≥0，A.4

B.9

C.10

D.12

) y≤x－1，x(2)(2018·湘中高三联考)已知实数x，y满足x≤3，

则y的最小值是________.

x＋5y≥4，解析

(1)作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示(包括边界)，x2＋y2表示平面区域内的点与原点的距离的平方.由图易知平面区域内的点A(3，

－1)与原点的距离最大，所以x2＋y2的最大值是10，故选C.

x(2)作出不等式组表示的平面区域，如图所示，又y表示平面区域内的点与原点连x线所在直线的斜率的倒数.由图知，直线OA的斜率最大，此时y取得最小值，所13x以y＝k＝2. minOA

3答案

(1)C

(2)2

命题角度3

求参数的值或范围

x＋3y＋5≥0，【例2－3】

(2018·惠州三调)已知实数x，y满足：x＋y－1≤0，

若z＝x＋2yx＋a≥0，的最小值为－4，则实数a＝(

) A.1

B.2

C.4

D.8 解析

作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，当直线z＝x＋2y经

a－5a－5时，z取得最小值－4，所以－a＋2·过点C－a，3＝－4，解得a＝2，选3B.

答案

B 规律方法

1.先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值.

2.当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：

(1)x2＋y2表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，（x－a）2＋（y－b）2表示点(x，y)与点(a，b)的距离；

y－by(2)x表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜x－a率.

3.当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件.

x－y＋3≤0，【训练2】

(1)(2017·山东卷)已知x，y满足约束条件3x＋y＋5≤0，则z＝x＋2yx＋3≥0，的最大值是(

) A.0

B.2

C.5

D.6 2x－y＋2≥0，(2)(2018·新乡模拟)若实数x，y满足2x＋y－6≤0，且z＝mx－y(m<2)的最小值为0≤y≤3，5－2，则m等于(

) 55A.4

B.－6

1D.3

C.1

解析

(1)由已知得约束条件的可行域如图中阴影部分所示，故目标函数z＝x＋2y

经过点C(－3，4)时取最大值zmax＝－3＋2×4＝5.

(2)作出约束条件所表示的可行域如图中阴影部分所示，

y＝3，5z＝mx－y(m<2)的最小值为－2，可知目标函数的最优解过点A，由2x－y＋2＝0，1解得A2，3，

5m∴－2＝2－3，解得m＝1.

答案

(1)C

(2)C 考点三

实际生活中的线性规划问题

【例3】

(2016·全国Ⅰ卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.

解析

设生产A产品x件，B产品y件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其

x＋0.3y≤90，他限制条件，得线性约束条件为5x＋3y≤600，x≥0，x∈N，y≥0，y∈N，＋＋1.5x＋0.5y≤150，

目标函数z＝2 100x＋900y.

作出可行域为图中的阴影部分(包括边界)内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为(60，100)，(0，200)，(0，0)，(90，0)，在(60，100)处取得最大值，zmax＝2 100×60＋900×100＝216 000(元).

答案

216 000 规律方法

解线性规划应用问题的一般步骤：

(1)分析题意，设出未知量；

(2)列出线性约束条件和目标函数；

(3)作出可行域并利用数形结合求解；

(4)作答.

【训练3】

(2018·黄冈联考)一个小型加工厂用一台机器生产甲、乙两种桶装饮料，生产一桶甲饮料需要白糖4千克，果汁18千克，用时3小时；生产一桶乙饮料需要白糖1千克，果汁15千克，用时1小时.现库存白糖10千克，果汁66千克，生产一桶甲饮料利润为200元，生产一桶乙饮料利润为100元，在使用该机器用时不超过9小时的条件下，生产甲、乙两种饮料利润之和的最大值为________.

解析

设生产甲、乙两种饮料分别为x桶、y桶，利润为z元，

18x＋15y≤66，6x＋5y≤22，则得3x＋y≤9，即3x＋y≤9，

x≥0，x≥0，y≥0.y≥0.目标函数z＝200x＋100y.作出可行域(如图阴影部分所示)，当直线z＝200x＋100y经过可行域上点B时，z取得最大值，解方程4x＋y＝10，组得点B的坐标(2，2)，故zmax＝200×2＋100×26x＋5y＝22，＝600.

答案

600

基础巩固题组

(建议用时：30分钟) 一、选择题

4x＋y≤10，4x＋y≤10，y≤－x＋2，1.不等式组y≤x－1，所表示的平面区域的面积为(

y≥0A.1

1B.2

1C.3

) 1D.4

y＝－x＋2，解析

作出不等式组对应的区域为△BCD，由题意知xB＝1，xC＝2.由y＝x－1，1111得yD＝2，所以S△BCD＝2×(xC－xB)×2＝4.

答案

D

x≤3，2.(2017·北京卷)若x，y满足x＋y≥2，则x＋2y的最大值为(

y≤x，A.1

B.3

C.5

1z解析

画出可行域，设z＝x＋2y，则y＝－2x＋2，当直线y＝1z－2x＋2过B(3，3)时，z取得最大值9，故选D. 答案

D

) D.9 2x＋3y－3≤0，3.(2017·全国Ⅱ卷)设x，y满足约束条件2x－3y＋3≥0，则z＝2x＋y的最小值是y＋3≥0，(

) A.－15

B.－9

C.1

D.9 解析

作出不等式组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得函数在点B(－6，－3)处取得最小值zmin＝－12－3＝－15.故选A.

答案

A 3x＋2y－6≤0，4.(2017·全国Ⅲ卷)设x，y满足约束条件x≥0，则z＝x－y的取值范围y≥0，是(

) A.[－3，0]

B.[－3，2]

C.[0，2]

D.[0，3] 解析

画出不等式组表示的可行域(如图阴影部分所示)，结合目标函数的几何意义可得函数在点A(0，3)处取得最小值z＝0－3＝－3，在点B(2，0)处取得最大值z＝2－0＝2.

答案

B x－y－1≤0，5.(2018·河北名校联盟质检)设变量x，y满足约束条件x＋y≥0，则z＝x－x＋2y－4≥0，2y的最大值为(

) A.－12

B.－1

C.0

3D.2

解析

作出可行域，如图阴影部分，作直线l0：x－2y＝0，平移直线l0，可知经过点A时，z＝x－2y取得最大值，

x＋2y－4＝0，由得A(2，1)，所以zmax＝2－2×1＝0，

x－y－1＝0，故选C.

答案

C 6.(2018·上饶调研)若1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1，则x－2y的最大值与最小值之和是(

) A.0

B.－2

C.2

D.6 2≤x－y＋1≤4，解析

1≤log2(x－y＋1)≤2，|x－3|≤1即变量x，y满足约束条件2≤x≤4，x－y－3≤0，即x－y－1≥0，作出可行域(图略)，可得x－2y的最大值、最小值分别为4，－2，2≤x≤4，

其和为2. 答案

C x＋y≥1，7.(2018·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考)若x，y满足mx－y≤0，且z3x－2y＋2≥0＝3x－y的最大值为2，则实数m的值为(

) 1A.3

2B.3

C.1

D.2 解析

若z＝3x－y的最大值为2，则此时目标函数为y＝3x－2，直线y＝3x－231与3x－2y＋2＝0和x＋y＝1分别交于A(2，4)，B4，4，mx－y＝0经过其中一11点，所以m＝2或m＝3，当m＝3时，经检验不符合题意，故m＝2，选D. 答案

D x－y＋1≤0，8.若变量x，y满足约束条件y≤1，则(x－2)2＋y2的最小值为(

x>－1，32A.2

B.5

9C.2

D.5 解析

作出不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示.

)

设z＝(x－2)2＋y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D(2，0)的距离的平方，y＝1，x＝0，由图知C，D间的距离最小，此时z最小.由得即C(0，1)，

x－y＋1＝0y＝1，此时zmin＝(x－2)2＋y2＝4＋1＝5，故选D. 答案

D 二、填空题

x－y≥0，9.(2017·全国Ⅲ卷)若x，y满足约束条件x＋y－2≤0，则z＝3x－4y的最小值为y≥0，________.

解析

画出可行域如图阴影部分所示.

3z由z＝3x－4y，得y＝4x－4，

3作出直线y＝4x，平移使之经过可行域，观察可知，当直线经过点A(1，1)处取最小值，故zmin＝3×1－4×1＝－1.

答案

－1 10.(2017·铜川模拟)已知O是坐标原点，点M的坐标为(2，1)，若点N(x，y)为平x＋y≤2，1→·ON→的最大值是________.

面区域x≥2，上的一个动点，则OMy≥x解析

依题意，得不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示，

1113其中A2，2，B2，2，C(1，1).

→·ON→＝2x＋y，当目标函数z＝2x＋y过点C(1，1)时，z＝2x＋y取得最设z＝OM大值3. 答案

3 11.(一题多解)已知－1＜x＋y＜4且2＜x－y＜3，则z＝2x－3y的取值范围是________(答案用区间表示).

a＋b＝2，解析

法一

设2x－3y＝a(x＋y)＋b(x－y)，则由待定系数法可得解a－b＝－3，

111a＝－，－2＜－（x＋y）＜222，15得所以z＝－2(x＋y)＋2(x－y).又

5515b＝2，5＜2（x－y）＜2，所以两式相加可得z∈(3，8).

法二

作出不等式组

－1＜x＋y＜4，表示的可行域，如图中阴影部分所示.平移直2＜x－y＜3线2x－3y＝0，当相应直线经过x－y＝2与x＋y＝4的交点A(3，1)时，z取得最小值，zmin＝2×3－3×1＝3；当相应直线经过x＋y＝－1与x－y＝3的交点B(1，－2)时，z取得最大值，zmax＝2×1＋3×2＝8.所以z∈(3，8).

答案

(3，8) x＋y－2≤0，12.x，y满足约束条件x－2y－2≤0，若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，2x－y＋2≥0.则实数a的值为________.

解析

如图，由y＝ax＋z知z的几何意义是直线在y轴上的截距，故当a＞0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝2；当a＜0时，要使z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则a＝－1. 答案

2或－1 能力提升题组

(建议用时：15分钟) 13.某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为(

)

A(吨)

B(吨)

A.12万元

C.17万元

甲

3

1

乙

2

2

B.16万元

D.18万元

原料限额

12 8

解析

设每天生产甲、乙产品分别为x吨、y吨，每天所获利润为z万元，则有3x＋2y≤12，x＋2y≤8，目标函数z＝3x＋4y，线性约束条件表示的可行域如图阴影部分所x≥0，y≥0，示：

可得目标函数在点A处取到最大值.

x＋2y＝8，由得A(2，3).

3x＋2y＝12则zmax＝3×2＋4×3＝18(万元).

答案

D x－2y＋1≥0，14.(2018·高安中学联考)已知实数x，y满足x<2，

z＝|2x－2y－1|，则x＋y－1≥0，z的取值范围是(

) 5A.3，5

B.[0，5)

C.[0，5]

5D.3，5

解析

作出可行域如图所示：

u＋1312易求得A2，2，B3，3，C(2，－1)，令u＝2x－2y－1，则y＝x－2，当直u＋1512线y＝x－2过点C(2，－1)时，u有最大值5，过点B3，3时，u有最小值－3，因为可行域不包括x＝2的边界，所以z＝|2x－2y－1|的取值范围是[0，5).故选B. 答案

B

x＋2y－3≤0，15.已知变量x，y满足约束条件x＋3y－3≥0，若目标函数z＝ax＋y(其中a>0)y－1≤0，仅在点(3，0)处取得最大值，则a的取值范围是________.

解析

画出x，y满足约束条件的可行域如图所示，

要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3，0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应11小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a<－2，∴a>2. 1答案

2，＋∞

y≤ln x，y＋1x－2y－3≤016.(2018·安徽江南十校联考)已知实数x，y满足，则z＝x的取y＋1≥0，值范围为________.

y＋1解析

作出不等式组对应的平面区域，如图阴影部分.z＝x表示区域内的点(x，y)与A(0，－1)连线的斜率k，由图可知，kmin＝0，kmax＝kAP，P为切点，设P(x0，1ln x0)，kAP＝x，

0ln x0＋11x0＝x0，∴x0＝1，kAP＝1，

y＋1即z＝x的取值范围为[0，1].

∴

答案

[0，1]