小结特级教师教学实录

第一章

统计案例

小结

中卫市第一中学 王红鹤

教学目标：

1.

会作两个有关联变量的数据的散点图，并利用散点图认识变量间的相关关系．

2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程．

3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用．

4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 知识梳理

1．两个变量的线性相关

(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关．

(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关．

(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．

2．回归方程

(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫最小二乘法．

^(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)、(x2，y2)，…，(xn，yn)．其回归方程为y＝^^bx＋a，则

∑

（x－x）（y－y）∑xy－nxy^b＝＝，∑

（x－x）∑x－nx

其中(x，y)称为样本点的中心．

^^a＝y－bx.i＝1iini＝1i2i＝1nii2i2i＝1nn3．残差分析

(1)残差：对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为ei＝yi－bxi－a，i＝1，2，…，^^^^^n，其估计值为ei＝yi－yi＝yi－bxi－a，i＝1，2，…，n.ei称为相应于点(xi，yi)的残差．

^2(2)残差平方和为∑

(y－yi). i＝i1n(3)相关指数：R2

4．独立性检验

(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验．

(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取

值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为

2×2列联表

x1

x2

总计

2y1

a c a＋c y2

b d b＋d 总计

a＋b

c＋d

a＋b＋c＋d

n（ad－bc）2构造一个随机变量K＝，其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）典例分析

考点一：回归分析的思想

例1某地搜集到的新房屋的销售价格(单位：万元)和房屋面积(单位：m2)的数据如下表：

房屋面积/m2 115 110 80 135 105

(1)画出数据对应的散点图；

(2)求线性回归方程

(3)根据(2)的结果，估计当房屋面积为150 m2时的销售价格. 解：（1）设x轴表示房屋的面积，y轴表示销售价格，数据对应的散点图如图. 销售价格/万元

24.8 21.6 18.4 29.2 22

^（2）求的线性回归方程为y＝0.196 2x＋1.814 2. ^（3）由(2)知当x＝150时，销售价格的估计值为y＝0.196 2×150＋1.814 2＝31.244 2(万元).

规律方法

利用散点图判断两个变量是否有相关关系是比较直观简便的方法．如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系．如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关

系．然后求出回归方程，根据回归方程解决问题. 跟踪训练1

从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入xi(单位：千元)与月储蓄yi(单位：1010千元)的数据资料，算得xi＝80，yi＝20，

i＝1i＝11010i＝720 xiyi＝184，x2i＝1i＝1^^^(1)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a；

(2)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄.

考点二：线性回归分析

例2一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表：

零件数x/个

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 加工时间y/min 62 72 75 81 85 95 103 108 112 127

(1)画出散点图，并初步判断是否线性相关；

(2)若线性相关，求回归直线方程；(3)求出相关指数；

(4)作出残差图；

(5)进行残差分析；

解

(1)散点图，如图所示

^^^（2）设回归方程y＝bx＋a；

^b=i＝1xiyi－10x

y2x2i－10x1010－－＝－56 130－10×55×92553＝≈0.670，

82538 500－10×552i＝1

553827^－^－a＝y－bx＝92－×55＝≈55.133，

82515^∴回归直线方程为y＝0.670x＋55.133. i＝1

yi－yi2≈0.987.

－10^（3）R＝1－10i＝12

yi－y2^^(4)∵ei＝yi－yi，利用上表中数据作出残差图2

(5)由散点图可以看出x与y有很强的线性相关性，由R的值可以看出回归效果很好．

由残差图也可观察到，第2、5、9、10个样本点的残差比较大，需要确认在采集这些样本点的过程中是否有人为的错误．

跟踪训练2 一个车间为了规定工时定额，需确定加工零件所花费的时间，为此进行了10次试验，测得的数据如下表：

年份

需求量(万吨)

2002

236

2004

246

2006

257

2008

276

2010 286 ^(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；

(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．

【思路点拨】

(1)为了方便计算，可将数据适当处理，再列对应表格，求回归系数；(2)根据回归方程进行预测分析．

解答

(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来求回归直线方程，为此对数据预处理如下：

年份－2006

需求量－257

－4

－21

－2

－11

0

0

2

19

4 29 对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2，

（－21）＋（－2）×（－11）＋2×19＋4×29260^（－4）×b＝＝＝6.5，

2222404＋2＋2＋4^^∴a＝y－bx＝3.2，

由上述计算结果，知所求回归直线方程为

^^^y－257＝b(x－2 006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2 ^即y＝6.5(x－2 006)＋260.2.①

(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为

6．5×(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．

规律方法：

1．解答本题将年份－2006，需求量－257，有利于计算，进而由回归直线方程进行有效地预测分析．

^^2．正确运用计算b、a的公式和准确的计算，是求线性回归方程的关键．

3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．

考点三：独立性检验

例3 .某运动队研制了一种有助于运动员在大运动量的训练后快速恢复的口服制剂，为了试验新药的效果，抽取若干名运动员来试验，所得资料如下:

有效(恢复得好)

60

120

45

180

性别 药

恢复效果

未用

男运动员

女运动员

用

未用

用

无效(恢复得差)

总

计

解：对男运动员：

45

105

45

165

60

105

255

435

270×60×45－45×1202k1＝≈7.013＞6.635，

105×165×180×90在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为药剂有效．

对女运动员：

540×45×255－60×1802k2＝≈0.076＜2.706，

105×435×225×315没有充足的证据显示有关系．

综上所述，该药剂对男运动员有效果，对女运动员无效果．

跟踪训练3:

电视传媒公司为了解某地区电视观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：

图9－4－1 将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”．已知“体育迷”中有10名女性．

(1)试求“体育迷”中的男性观众人数；

(2)据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？

附：

P(K2≥k)

k n（ad－bc）2K＝. （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）20.05

3.841

0.01 6.635 【思路点拨】

(1)根据频率分布直方图求“体育迷”人数，进而确定其中男性观众人数．(2)列出2×2列联表，计算K2的观测值k，依据独立性检验思想作出判断．

【尝试解答】

(1)由频率分布直方图，“体育迷”的频率为(0.005＋0.020)×10＝0.25. ∴“体育迷”观众共有100×0.25＝25(名)，

因此，男“体育迷”共有25－10＝15(名)．

(2)由(1)列2×2列联表如下：

男

女

合计

非体育迷

30

45

75

体育迷

15

10

25

合计

45 55 100 将2×2列联表中的数据代入公式计算，得

n（ad－bc）2100（30×10－45×15）2100k＝＝＝≈3.030.

75×25×45×5533（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）∵3.030＜3.841. ∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．, 规律方法

1．独立性检验的关键是准确的计算K2，在计算时，要充分利用2×2列联表．

2．独立性检验的步骤：

(1)根据样本数据制成2×2列联表．

n（ad－bc）2(2)根据公式K＝计算K2的观测值k. （a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）2(3)比较k与临界值的大小关系作统计推断．

课堂小结

1.回归直线方程的求法；

2.残差分析；

3.相关指数R2和随机变量K的公式.

从近两年高考看，以考查独立性检验，回归分析为主，多为选择题、填空题，也可能以解答题形式考查，主要以实际问题为背景，考查阅读理解、分析问题、解决问题的能力，在解决一些简单实际问题的过程中考查基本的统计思想．

利用回归分析思想进行科学预测

课时过关

221.为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算K≈0.99，根据这一数据分析，下列说法正确的是( D ) A.有99%的人认为该栏目优秀

B.有99%的人认为该栏目是否优秀与改革有关系

C.在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为电视栏目是否优秀与改革有关系

D.没有理由认为电视栏目是否优秀与改革有关系

2如果在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为事件A与B有关系，那么具体计算出的数据k的值满足( A ) A. k≥3.841 B. k<3.841 C. k≥6.635 D. k<6.635 23.在回归分析中，求得R=0.89，则( B ) A.解释变量对总效应的贡献是11% B.解释变量对总效应的贡献是89% C.随机误差的贡献是89% D.随机误差的贡献是0.89% 4为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

是否需要志愿者

男

需要

不需要

40

160

女

30 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．附：

P(K2≥k)

k n（ad－bc）2K＝

（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）20.050

3.841

0.010

6.635

0.001 10.828 【解】

(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老70年人的比例的估计值为＝14%. 500500×（40×270－30×160）2(2)k＝≈9.967.

200×300×70×430由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．

(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．

5 (2012·福建高考)某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到如下数据：

单价x(元)

销量y(件)

8

90

8.2

84

8.4

83

8.6

80

8.8

75

9 68 ^^^^(1)求回归直线方程y＝bx＋a(其中b＝－20，a＝y－bx)；

(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的成本是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－成本) 1【规范解答】

(1)由于x＝(x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6)＝8.5，

61y＝(y1＋y2＋y3＋y4＋y5＋y6)＝80. 6

^又b＝－20. ^^所以a＝y－bx＝80＋20×8.5＝250，

^从而回归直线方程为y＝－20x＋250. (2)设工厂获得的利润为L元，依题意得

L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250) 33＝－20x2＋330x－1 000＝－20(x－)2＋361.25. 4当且仅当x＝8.25时，L取得最大值．

故当单价定为8.25元时，工厂可获得最大利润．