小结教学设计与反思

人教A版必修5

§3.4基本不等式： abab2（第一课时）

教学设计

固原市回民中学

佘琰辉

§3.4基本不等式：（第一课时）

abab

2课标分析：

基本不等式是高中数学解决最值的一个重要工具，同时也在实际生活中有着广泛的应用。课程标准对本节课的要求是：探索并了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

教学背景分析：

1、学习任务分析：

本节课的主要学习任务是通过赵爽弦图中面积的直观比较抽象出基本不等式，在此基础上探究基本不等式的证明，了解分析法的思维过程，使学生体会数形结合的思想，并进一步培养学生的数学抽象能力和推理论证能力。其中基本不等式的证明是从代数、几何两个方面展开，既有逻辑推理，又有直观的几何图形，使得基本不等式的证明成为本节课的核心部分，自然也是本节课的学习重点。

2、学情分析：

学生在初中时就已经学习了圆和三角形的基本知识，并且通过前一阶段的学习，初步掌握了不等式的性质及运用作差比较法证明不等式，这些都是本节课必要的知识基础。同时，存在的困难是，由于没有基础，学生会对分析法感到陌生，加上基本不等式的几何证明过程中线段间的关系较隐蔽，学生也不容易发现，因而本节课的难点仍然是基本不等式的证明。

教学目标：

1、通过观察背景图形，能够从中抽象出基本不等式；

2、了解分析法的证明思路，理解基本不等式的几何背景；

3、会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；

4、体会数形结合的数学思想，培养学生的数学抽象能力，逻辑推理能力以及数学运算能力；

5、体会数学来源生活，又服务于生活的思想，提高学生学习数学的兴趣。

教学重难点：

重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同的角度探索基本不等式abab的证明过程。

2难点：基本不等式的证明及应用基本不等式求最大（小）值。

教学方法：

教法指导：教师启发引导与学生自主探索相结合。

学法指导：通过创设问题情境，让学生经历从实际问题出发探求基本不等式，发

现基本不等式的实质，利用基本不等式解决实际问题的过程，使学生从代数证明和几何证明两方面理解并掌握基本不等式。

教学过程设计：

一、创设情境，引入课题

情境一：孔融让梨的故事大家都知道吧？现在有一块正方形的蛋糕，沿着垂直于边的方向切两刀，得到四块蛋糕，孔融和他的弟弟可以各分两块，现有两个选择：

①选深色的两块；

②选浅色的两块。

如果你是孔融，你会怎么选择？

ab深色两块的面积和为：a2b2；

浅色两块的面积和为：2ab

观察发现不等关系：ab2ab.

22aa

aa

ab

情境二：必修5课本的封面图片展示的就是2002年在北京举行的第24届国际数学家大会的会标，是根据我国古代数学家赵爽的弦图设计的，该图给出了迄今为止对勾股定理最早、最简洁的证明，体现了以形证数，数形统一的思想。

探究一：将这个“风车”抽象成如图所示的数学图形，尝试完成下列问题：

该正方形中有四个全等的直角三角形，设直角三角形的两条直角边长分别为aba和b，则(1).正方形的面积S1=

(2).四个直角三角形的面积和S2=

(3). S1与S2有什么大小关系？

(4). S1与S2在什么情况下会相等？

二、代数证明，得出结论

根据上述两个几何背景，初步形成不等式结论：

对于任意正数a,b，都有a2b22ab. 学生活动：请同学们利用前面所学的作差法来证明上述不等式。

证明：a2b22abab0

2

a2b22ab，当且仅当a=b时等号成立。

在上述证明过程中，学生不难发现，a和b可以取任意实数。

得出本节课的第一个重要不等式：

一般地，对于任意实数a,b，我们有a2b22ab，当且仅当a=b时，等号成立. 代换变形：如果a0,b0，用a,b分别代替a,b，可得

(a)2(b)22ab，即ab2ab. 通常我们将上式写作ab完成以下证明过程：

要证

ab（a0,b0）. 2ab

①

2ab只需证明

ab

②

要证明②，只需证明

ab

0

③

要证明③，只需证明

（

）20

④

显然④是成立的.当且仅当

时，④中的等号成立. （称该证明方法为分析法）

得出本节课的第二个重要不等式，即基本不等式：

一般地，对于任意正数a,b，我们有ab深化认识：

称ab为a,b的几何平均数；称ab，当且仅当a=b时，等号成立. 2ab为a,b的算数平均数。

2基本不等式ababa0,b0又可叙述为：

2两个正数的几何平均数不大于它们的代数平均数. 三、几何证明，相得益彰

探究二：如图所示，AB是圆O的直径，点C是AB上一点，AC=a，BC=b，

过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD,BD,OD. (1).如何用a,b来表示OD？OD=

(2). 如何用a,b来表示CD？CD=

(3). OD与CD有什么大小关系？

A

利用几何画板演示引导学生观察等号成立的情况，

最终再次证明了基本不等式：abDOCEBaba0,b0

2也得到了基本不等式的几何解释：

圆的半弦长不大于半径的长. 也可解释为：直角三角形斜边上的高不大于斜边上的中线长. 知识拓展：

如果将正数a,b看作某数列中的两项，能不能用你所学过的数列知识来解释基本不等式？

结论：两个正数的等比中项不大于它们的等差中项. 四、初步应用，加深理解

例题1：两个正实数的积是81，当这两个数取什么值时，它们的和最小？

由该例题推广出基本不等式的第一个常见变形：ab2aba0,b0

总结出结论1：若两正数的积为定值P,则它们和的最小值为2p（当且仅当这两个数相等时取得）

（积定和最小）

练习1：用篱笆围一个面积为64平方米的矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，所用的篱笆最短，最短为多少米？

例题2：两个正实数的和是12，当这两个数取什么值时，它们的积最大？

ab由该例题推广出基本不等式的第二个常见变形：aba0,b0

2S总结出结论2：若两正数的和为定值S,则它们积的最大值为（当且仅当这2两个数相等时取得）

（和定积最大）

练习2：用一段长为36米的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大为多少平方米？

22

归纳运用基本不等式解最值问题时的要点：一正、二定、三相等. 五、归纳小结，反思提高

为了更好的巩固本节课的知识，设置如下三个小题让学生尝试总结归纳：

1、你能从不同的角度来解释基本不等式的意义吗？

2、在证明基本不等式的过程中，用到了哪些数学思想和方法？

3、利用基本不等式可以解决一些什么样的问题？其中需要注意什么呢？

六、作业布置，课堂延伸

1、课本100页A组习题1,2. 2、建造一个容积为18m3,深为2m的长方体无盖水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，那么该水池怎么造才能使造价最低，最低为多少？

板书设计：

3.4基本不等式（第一课时）

1、重要不等式：

证明过程

2、基本不等式：

证明过程

集合解释：

3、基本不等式的常见变形

①

②

4、应用条件：

多媒体展示

教学反思：