3.1.2 复数的几何意义课堂实录及点评

课题：3.1.2复数的几何意义

教

知识与技能

学

目

过程与方法

标

能情感态度与价值观

力

重点

难点

教学方法、手段

教学过程（教学设计）：

第

1 课时

理解复数的几何意义，会用复平面内的点和向量来表示复数.

渗透转化、数形结合等数学思想和方法，提高分析、解决问题的能力. 引导学生观察现象，发现问题，提出观点，验证结论，培养良好的学习思维品质. 复数的向量表示. 复数的向量表示. 探究、引导式教学

个性补充

一、问题情景

问题1：对于复数a+bi和c+di(a,b,c,d ∈R)，你认为满足什么条件时，这两个复数相等？

（a=c且b=d，即实部与虚部分别相等时，这两个复数相等。）

问题2：若把a,b看成有序实数对（a,b），则（a,b）与复数a+bi是怎样的对应关系？有序实数对（a,b）与平面直角坐标系中的点是怎样的对应关系？（一一对应关系）

实数可以用数轴上的点来表示

实数 一一对应 实数轴上的点

（几何模型）

数

形

问题3：类比实数的性质，你能否找到用来表示复数的几何模型？还能得出复数其他的一些性质吗？

（学生猜测，讨论，形成一些共识）

二、建构数学

1．复平面的概念

把建立的直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴。实轴上的点都表示实数，除原点外，虚轴上的点都表示虚数。

y bZ=a+bi Z(a,b) y

oax

-2．复数的几何意义

3

2

Z(a,b)

x

1

2 复数a+bi，即点Z（a,b）（复数的几何形式）、即向量OZ（复数的向量形式。以O为始点的向量，规定：相等的向量表示同一个复数。）

三者的关系如下：

复数 zabi

复平面

平面向量

内的点

oz

Z（a,b）

[巩固练习] （1）.在复平面内，分别用点和向量表示下列复数：

4，2+i，-1+3i，3-2i，-i （2）.“a=0”是“复数a+bi (a , b∈R)所对应的点在虚轴上”的（ ）。

(A)必要不充分条件 (B)充分不必要条件

(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

（3）.复平面内，表示一对共轭复数的两个点具有怎样的位置关系？

变式：第二象限的点表示的复数有何特征？

问题4：实数可以比较大小，任意两个复数可以比较大小吗？认为可以者，请拿出进行比较的方法；认为不可以者，请说明理由。

（学生讨论，回答，纠正错误，形成共识）

3．复数的模（或绝对值）

向量OZ的模叫做复数Z=a+bi的模（或绝对值），记作Z或abi。如果b=0，那么Z=a+bi就是实数a，它的模等于a（即实数a的绝对值）。

zabia2b2

[巩固练习] （1）、已知复数Z1=3+4i，Z2=-1+5i，试比较它们模的大小。

（2）、若复数Z=3a-4ai(a<0)，则其模长为 。

拓展与延伸：

（3）满足|z|=5(z∈R)的z值有几个？满足|z|=5(z∈C)的z值有几个？这些复数对应的点在复平面内构成怎样的图形？其轨迹方程是什么？

（4）设Z∈C，满足2z3的点Z的集合是什么图形？

三、数学应用

例1 已知复数Z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面Z内所对应的点位于第二象限，求实数m允许的取值范围。

变式：证明对一切实数m，此复数Z所对应的点不可能位于第四象限

（解不等式组；解不等式组无解）

相互转化

表示复数的点所在象限的问题 数的实部与虚部所满足的不等式组的问题

(几何问题) （代数问题）

数学思想：数形结合、转化思想

四、课堂小结

一一对应复数Zabi复平面内的点(a,b)一一对应一一对应复数Zabi平面向量OZ复平面内的点(a,b)平面向量OZ

课后作业：

教学反思：