复习参考题优秀教学设计

基本不等式复习

天台育青中学

孟倩倩

【教学目标】

知识与技能：进一步理解基本不等式并能灵活应用；

过程与方法：通过对例题的求解掌握本学段求最值的常用方法，

体会一题多解与多题一解；

情感态度价值观：通过不断地归纳总结，逐步培养学生养成解题反思的习惯，形成科学严谨的学习态度. 【教学重点】基本不等式在解决最值问题中的应用. 【教学难点】灵活应用基本不等式与函数法求解最值问题. 教学过程：

一、

典例讲解

例1、（1）已知正数x,y满足121，则2xy的最小值为 （ ）

xyC、 5

D、8 A、 3 B、4

（2）若将（1）中的条件变为123，则(2xy)min?

xy（3）若正数x,y满足x3y5xy，则3x4y的最小值为 ，

此时x ，y . 【设计意图】这3小题的设计由易到难，本质均为“1”的代换. 让学生体会形如axbycxy的式子，通过变形变为abc的形式，构造出我们要yx的式子结构，也即“1”的代换的式子的特征（分式整式），同时利用基本不等式需注意等号成立的条件. 【回顾与总结】 基本不等式：a,bR,abab 当且仅当ab时取等号 2ab2)

变形：

ab(2a2b2ab2ab

深化:a,bR, 当且仅当ab时取等

1122ab（4）已知0b5，求

12的最小值. b5b12121()[b(5b)]

b5bb5b5

11的最小值. a154b思路一：函数法，通过消去a剩下变量b(降元思想)，同（4）的解法，即为“1”的代换. 1111411()[4b(54b)]

a154bb54b4b54b5（5）已知ab1,b(0,1)，求思路二：从基本不等式层面考虑，寻找定值，在本题中需配凑定值

即4(a1)(54b)4a4b15. 1141411()[4(a1)(54b)]

a154b4(a1)54b4(a1)54b5【小结1】现阶段求最值的基本方法：函数法、基本不等式法（注意使用条件）

例2、（1）已知0x3，求x(54x)的最大值

4方法一：二次函数求最值

方法二：基本不等式法（求积的最大值，找和为定值），其中4x(54x)5

114x54x25解：x(54x)4x(54x)

44216当且仅当4x54x，即x故x(54x)的最大值为25时取等号

825

16（2）已知正数a,b满足ab2，求ab1的最大值. 方法一：转化，ab1的最大值也即(ab1)2的最大值

(ab1)2ab12a(b1)

方法二：函数法

ab12bb1

方法三：基本不等式法（本题中寻找平方和是定值）

ab12[(a)2(b1)2]6

当且仅当ab1，即a31,b时取等号

22故ab1的最大值为6. 22（3）已知正数a,b满足2ab2，求b1a2的最大值. 2

思路：

b11a2b2(a2)

22【小结2】基本不等式反映的是积、和、平方和之间的关系，注意它们的相互转换. （4）函数yx2(x2)

x2x1(i)求1的取值范围；(ii)当x取何值时，y取最大值？

y1x2x1(x2)23(x2)33

解： (i)x23233

yx2x2x2当且仅当x23，即x32时取等号

x2故1的取值范围为[233,)

y(ii)法一：根据（i）的结论，易知x32时，ymax法二：换元,整体思想

令tx20,xt2

233

3tt1(t2)2(t2)1t23t3t33t

33t3233当且仅当t，即t32时取等号

tt y 故x32时，ymax233

3【小结3】分式形式求最值，若分子次数不低于分母次数，则可以进行分离来求解；若分子次数低于分母次数，则换元，利用整体思想求解. 例3、（1）已知x0,y0,x2yxy6，求xy的最大值，xy的最小值；

解：xy6(x2y)622xy，接下来就是解不等式了.

方法一：函数法，消元

x(1y)62yx62y82

1y1y

xy288y1y3

1y1y

方法二：基本不等式（求和最小值，构造积为定值）

x2yxy6(x2)(y1)



xy(x2)(y1)32x(2y)(1)3

423当且仅当x2y122，即x222,y221时取等号

故xy得最小值为423. （2）若正数x,y，满足3xyxy9，求2xy的最小值. 法一：函数法

法二：基本不等式

3xyxy9(x1)(y3)12

2xy2(x1)(y3)5

qm,,n,pq0)，都可通过构造定值求【小结4】若正数x,y满足mxnypxy(axby(a,b0)的最小值. 例4、对一切实数x，不等式4x2a|x1|58x恒成立，求实数a的取值范围. 解：a|x1|4x28x54(x1)21(i)x1时，01显然成立，aR;4|x1|211(ii)x1时，a(4|x1|)|x1||x1|11又(4|x1|)4,当且仅当4|x1|=|x1||x1|13即x或时，等号成立a422分离参数求最值【小结5】恒成立，求参数

函数（存在性）

二、课堂小结

达尔文曾说：最有价值的知识是关于方法的知识.消元降元思想函数换元整体思想（一）求最值

"1"的代换基本不等式配凑定值

（二）恒成立（存在性），求参数三、巩固提高

1、若正数a,b满足分离参数求最值函数

11191，求的最小值. aba1b12、已知2xy2,x,y0，求xy1的最小值.

xy3、

已知ab0，求a24的最小值. b(ab)4、已知实数x,y满足x2y2xy2，求x2y2xy的取值范围. 5、记F(x,y)xya(x22xy),x,y(0,)，恒有F(x,y)0，求a的范围.