信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响教学实录与评析

，对正态分布的影响

授课人：周怀伟

教学内容

正态分布是高中数学人教A版选修2-3教材第二章的重要内容。本节主要了解一种最常见的、有着广泛应用的分布——正态分布，直观认识正态曲线的形状、特点，正态曲线所表示的意义，正态分布的两个重要参数，对正态曲线位置和形状的影响。

教学目标

1、知识与技能

结合正态曲线，加深对正态密度函数的理解；通过正态分布的图形特征，归纳正态曲线的性质。

2、过程与方法

讲授法与引导发现法。通过教师先讲，师生再共同探究的方式，让学生深刻理解相关概念，领会数形结合的数学思想方法

，体会数学知识的形成。

3、情感态度与价值观

通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐，形成积极的情感，培养学生的进取意识和科学精神。

学情分析

通过前面知识的学习，学生已经掌握了平均数、标准差、频率分布直方图、折线图等研究数据的知识与方法，为学习正态分布这一生活中常见的连续性随机变量所服从的分布打下了良好的基础；此外，学生在生活中也有了不少的常识积累，为正态分布的学习提供了便利；但由于学生所学知识范围的限制，对正态分布函数的来龙去脉不可能深究。

教学重点与难点

重点：正态分布曲线的特点及其所表示的意义；

难点：正态分布的两个重要参数，对正态曲线位置和形状的影响。

教学方法

实验探究、学案导学、多媒体辅助

教具准备

黑板，多媒体

内容分析：

1、在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布

在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，总体密度曲线较科学地反映了总体分布

但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布作为研究的突破口

正态分布在统计学中是最基本、最重要的一种分布。

2、正态分布是可以用函数形式来表述的

其密度函数可写成：

1f(x)e2(x)222,x(,)， （σ＞0）

由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的

常把它记为N(,2)

3、从形态上看，正态分布是一条单峰、对称呈钟形的曲线，其对称轴为x=μ，并在x=μ时取最大值

从x=μ点开始，曲线向正负两个方向递减延伸，不断逼近x轴，但永不与x轴相交，因此说曲线在正负两个方向都是以x轴为渐近线的

4、通过正态分布的曲线，可知正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征

5、由于正态分布是由其平均数μ和标准差σ唯一决定的，因此从某种意义上说，正态分布就有好多好多，这给我们深入研究带来一定的困难

但我们也发现，许多正态分布中，重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过F(x)(x)转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为F(x)12e1x22，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化。

6、结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质

正态曲线的作图较难，教科书没做要求，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行了，关键是能通过正态曲线，引导学生归纳其性质

教学过程：

一、复习引入：

一、正态分布的概念与特征

总体密度曲线:样本容量越大，所分组数越多，各组的频率就越接近于总体在相应各组取值的概率。设想样本容量无限增大，分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图就会无限接近于一条光滑曲线,这条曲线叫做总体密度曲线。

频率/组距总体密度曲线单位Oab

它反映了总体在各个范围内取值的概率。根据这条曲线，可求出总体在区间(a，b)内取值的概率等于总体密度曲线，直线x=a，x=b及x轴所围图形的面积。

五、

结构式分析

（一）对正态分布函数的分解成几个基本初等函数从代数角度总结得出正态曲线的性质：

设k12，tes2x，s

22

（1）曲线在x轴的上方，与x轴不相交

（2）曲线关于直线x=μ对称

（3）当x=μ时，曲线位于最高点

（4）当x＜μ时，曲线上升（增函数）；当x＞μ时，曲线下降（减函数）

并且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近

（5）μ一定时，曲线的形状由σ确定

σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；

σ越小。曲线越“瘦高”。总体分布越集中

五条性质中前三条学生较易掌握，后两条较难理解，因此在讲授时应运用数形结合的原则，采用对比教学

。

设

计

意

图 针对解析式中含有两个参数，学生较难独立分析参数对曲线的影响，这里通过固定一个参数，讨论另一个参数对图象的影响，这样的处理大大降低了难度，并能很好地突出重点。

（二）用简练的语言概括以上几条性质：

强调：分析函数性质要有模型，即根据函数三要素（定义域，值域，对应法则），四性质（单调性，对称性，周期性，最值）来归纳。

（1）非负性; (2)对称性；（3）最值性;(4)定值性；（5）单调性；（6）几何性

设

计

意

图 总结要用简洁的语言来表述，便于记忆。

六.例题选讲

例1。给出下列两个正态总体的函数表达式，请找出其均值m和标准差s

x21

(1)(x)e2,x(,)2

(2)(x1)1(x)e8,x(,)222设

计

意

图 设计这一题主要为了加强学生对正态密度函数的理解。学生通过观察解析式的结构特征体会正态密度函数解析式的特点。

2例2.(2008·安徽理,10)设两个正态分布N(μ1, 12 ) (σ1>0)和N(μ2,2 ) (σ2>0)的密度函数图象如图所示,则有

A.μ1<μ2,σ1<σ2 B.μ1<μ2,σ1>σ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2 D.μ1>μ2,σ1>σ2 解析 由正态分布N(μ,σ2)性质知,x=μ为正态密度函数图象的对称轴,故μ1<μ2.又σ越小，图象越

高瘦,故σ1<σ2.

设

计

意

图 通过该例的设置，深化学生对正态曲线的特点及正态分布密度函数表达式中参数与的理解。

七、标准正态曲线: 当μ=0、σ=l时，正态总体称为标准正态总体，其相应的函数表示式是f(x)12ex22，（-∞＜x＜+∞）

其相应的曲线称为标准正态曲线。标准正态总体N（0，1）在正态总体的研究中占有重要的地位

任何正态分布的概率问题均可转化成标准正态分布的概率问题。

八、.练习

1、已知X~N (0,1)，则X在区间

(,2)

内取值的概率等于（

）

A.0.9544

B.0.0456

C.0.9772

D.0.0228 2、设离散型随机变量X~N(0,1),则

P（X0)

=

, P（-2

. 3、若X~N(5,1),求P(6

计

意

图 通过一个简单的应用，培养学生应用所学知识解决问题的能力，激发学习热情，体现数形结合的思想。

九、正态分布的应用

经验表明，一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布。

在现实生活中，很多随机变量都服从或近似地服从正态分布。例如长度测量误差；某一地区同年龄人群的身高、体重、肺活量等；一定条件下生长的小麦的株高、穗长、单位面积产量等；正常生产条件下各种产品的质量指标（如零件的尺寸、纤维的纤度、电容器的电容量、电子管的使用寿命等）；某地每年七月份的平均气温、平均湿度、降雨量等；一般都服从正态分布。因此，正态分布广泛存在于自然现象、生产和生活实际之中。正态分布在概率和统计中占有重要的地位。

课堂小结

(一)

知识归纳：

1.正态分布函数

,(x)1e2(x)222,x(,)

2.，对正态曲线位置和形状的影响

3.用简练的语言概括以上几条性质：

;(4)定值性；（1）非负性; (2)对称性；（3）最值性（5）单调性；（6）几何性

4. 正态分布的应用

（二）思想方法： 数形结合思想

设

计

意

图 通过小结使学生对本节课的知识结构有一个清晰的认识,同时使学生自己内化知识，查漏补缺,使学生在认识上达到一个新的高度。

十一、课外作业

收集并阅读正态分布在生活、医学等方面的应用事例做为课题研究

板书设计

正一、

正态密度函数 态分

布

,(x)12e(x)222,x(,)

多媒体投影

二、

正态分布

k12，tes2x，s

22三、

正态曲线的特点：

教学反思：

1、在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布

在上一节课我们研究了当样本容量无限增大时，频率分布直方图就无限接近于一条总体密度曲线，但总体密度曲线的相关知识较为抽象，学生不易理解，因此在总体分布研究中我们选择正态分布中参数,作为研究的突破口

。

2、正态分布是可以用函数形式来表述的

其密度函数可写成：

f(x)1e2(x)222,x(,)， （σ＞0）

由此可见，正态分布是由它的平均数μ和标准差σ唯一决定的

常把它记为N(,2)

重点研究N（0，1），其他的正态分布都可以通过F(x)(x)转化为N（0，1），我们把N（0，1）称为标准正态分布，其密度函数为F(x)12e1x22，x∈（-∞，+∞），从而使正态分布的研究得以简化。

3、结合正态曲线的图形特征，归纳正态曲线的性质

正态曲线的作图较难，授课时可以借助几何画板作图，学生只要了解大致的情形就行，关键是能通过正态曲线，体会函数学习中“数形结合”的数学学习思想方法，引导学生归纳其性质并加以简单应用。