复习参考题优秀完整教案

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

（1）

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

bb24ac

x1，2＝；

2a（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝－b；

2a（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1

判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0；

（2）x2－ax－1＝0；

（3）

x2－ax＋(a－1)＝0；

（4）x2－2x＋a＝0．

2.1.2

根与系数的关系（韦达定理）

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝bc，x1·x2＝．这一aa关系也被称为韦达定理．

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

例2

已知方程5xkx60的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

例3

已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

例4

已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

例5

若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求| x1－x2|的值；

（2）求211的值；

22x1x2（3）x13＋x23．

例6

若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

练

习

1．选择题：

（1）方程x23kx3k0的根的情况是

（

）

（A）有一个实数根

（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根

（D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋

(2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值22

范围是

（

）

（A）m＜11

（B）m＞－

4411

（C）m＜，且m≠0

（D）m＞－，且m≠0

442．填空: （1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则11＝

．

x1x2（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是

．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是

．

3．已知a28a16|b1|0，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

习题2.1 A

组

1．选择题: （1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（

）

（A）－3

（B）3

（C）－2

（D）2 （2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是

（

）

（A）1个

（B）2个

（C）3个

（D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（

）

（A）0

（B）1

（C）－1

（D）0，或－1 2．填空: （1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝

．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝

．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是

．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝

．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1)

x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B

组

1．选择题: 若关于x的方程x2＋(k2－1)

x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为

（

）

（A）1，或－1

（B）1

（C）－1

（D）0 2．填空: （1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于

．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值7；

3

是

．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：

（1）| x1－x2|和x1x2；

2（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

C

组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等于

（

）

（A）3

（B）3

（C）6

（D）9 （2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为

（

）

（A）α＋β≥x1x2的值为

（

）

x2x13

（A）6

（B）4

（C）3

（D）

211

（B）α＋β≤

（C）α＋β≥1

（D）α＋β≤1

22c（4）已知a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx2＋(a＋b)x＋＝0的根的情况是

4（

）

（A）没有实数根

（B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根

（D）有两个异号实数根

2．填空：

若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝

．

3．

已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－在，说明理由；

3成立？若存在，求出k的值；若不存2x1x2－2的值为整数的实数k的整数值；

x2x1x（3）若k＝－2，1，试求的值．

x2（2）求使m20．

4．已知关于x的方程x(m2)x42（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．

5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

2．2 二次函数

2.2.1

二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

二次函数y＝ax＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

2

b4acb2,)，（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为(2a4abbb对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而减小；当x＞时，y随着2a2a2ab4acb2x的增大而增大；当x＝时，函数取最小值y＝．

2a4ab4acb22,)，

（2）当a＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为(2a4abbb对称轴为直线x＝－；当x＜时，y随着x的增大而增大；当x＞时，y随着2a2a2a2

b4acb2x的增大而减小；当x＝时，函数取最大值y＝．

2a4a

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

2y b4acby b

,)

A(x＝－

2a4a

2a

O x O x

b4acb2b

,)

A(x＝－

2a4a2a

图2.2-4 图2.2-3

例1

求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

2函数y＝ax＋bx＋c图象作图要领：

（1）

确定开口方向：由二次项系数a决定

（2）

确定对称轴：对称轴方程为xb

2a2（3）

确定图象与x轴的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由方程x2＋bx＋c=0求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程x＋bx＋c=0求出③①若△<0则与x轴有无交点。

（4）

确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，c）

（5）

由以上各要素出草图。

练习：作出以下二次函数的草图

222

（1）yxx6

(2)yx2x1

(3) yx1

例2

某种产品的成本是120元/件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系如下表所示：

130 150 165 x /元

70 50 35 y/件

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？

分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大值．

．

例3

把二次函数y＝x2＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x2的图像，求b，c的值．

例4

已知函数y＝x2，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．

练习

1．选择题：

（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是

（

）

（A）y＝2x2

（B）y＝2x2－4x＋2 （C）y＝2x2－1

（D）y＝2x2－4x

（2）函数y＝2(x－1)2＋2是将函数y＝2x2

（

）

（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的

（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的

（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的

2．填空题

（1）二次函数y＝2x2－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝

，n＝

．

2（2）已知二次函数y＝x+(m－2)x－2m，当m＝

时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝

时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝

时，函数图象经过原点．

（3）函数y＝－3(x＋2)2＋5的图象的开口向

，对称轴为

，顶点坐标为

；当x＝

时，函数取最

值y＝

；当x

时，y随着x的增大而减小．

3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．

（1）y＝x2－2x－3；

（2）y＝1＋6 x－x2．

4．已知函数y＝－x2－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：

（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．

2.2.2

二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：

1．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)2＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．

抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b2－4ac存在下列关系：

（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点，则Δ＞0也成立．

（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．

（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴没有交点，则Δ＜0也成立．

若抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)．

3．交点式：y＝a(x－x1) (x－x2) (a≠0)，其中x1，x2是二次函数图象与x轴交点的横坐标．

例1

已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．

例2

已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．

例3

已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．

练

习

1．选择题: （1）函数y＝－x2＋x－1图象与x轴的交点个数是

（

）

（A）0个

（B）1个

（C）2个

（D）无法确定

1

（2）函数y＝－

(x＋1)2＋2的顶点坐标是

（

）

2

（A）(1，2)

（B）(1，－2)

（C）(－1，2)

（D）(－1，－2) 2．填空：

（1）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a

(a≠0) ．

（2）二次函数y＝－x2+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为

．

3．根据下列条件，求二次函数的解析式．

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；

（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；

（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．

2.3.2一元二次不等式的解法

1、一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系

2、一元二次不等式的解法步骤

一元二次不等式axbxc0或axbxc0a0的解集：

222设相应的一元二次方程axbxc0a0的两根为x1、x2且x1x2，b4ac，2则不等式的解的各种情况如下表：

二次函数

0

0

0

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

yax2bxc

（a0）的图象

一元二次方程

有两相异实根

有两相等实根

axbxc02a0的根(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集x1,x2(x1x2)

x1x2b

2a

无实根

R



ax2bxc0

xxx或xx

12bxx

2a



xx1xx2

例1

解不等式：

（1）x2＋2x－3≤0；

（2）x－x2＋6＜0；

（3）4x2＋4x＋1≥0；

（4）x2－6x＋9≤0；

（5）－4＋x－x2＜0．

例2

解关于x的不等式xxa(a1)0

解：原不等式可以化为：(xa1)(xa)0

21则xa或x1a

21121若a(a1)即a则(x)0

x,xR

2221若a(a1)即a则xa或x1a

2若a(a1)即a

22例3

已知不等式axbxc0(a0)的解是x2,或x3求不等式bxaxc0的解．

解：由不等式axbxc0(a0)的解为x2,或x3，可知

2a0，且方程ax2bxc0的两根分别为2和3，

bc6，

∴5,aabc6．

即

5,aa2由于a0，所以不等式bxaxc0可变为

b2c

xx0

，

aa2即

－5xx60,

整理，得

5x2x60,2

所以，不等式bxaxc0的解是

6

x＜－1，或x＞

．

5说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．

练

习

1．解下列不等式：

（1）3x2－x－4＞0；

（2）x2－x－12≤0；

（3）x2＋3x－4＞0；

（4）16－8x＋x2≤0．

222.解关于x的不等式x＋2x＋1－a≤0（a为常数）．

作业：

1.若01

a

1或x

(

)

a1

B.

a1

D.x<或x>a

a2.如果方程ax2＋bx＋b＝0中，a＜0，它的两根x1，x2满足x1＜x2，那么不等式ax2＋bx＋b＜0的解是______.

3．解下列不等式：

（1）3x2－2x＋1＜0；

（2）3x2－4＜0；

（3）2x－x2≥－1；

（4）4－x2≤0．

(5)4+3x－2x2≥0; (6)9x2－12x>－4;

4．解关于x的不等式x2－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．

5．关于x的不等式axbxc0的解为x2或x求关于x的不等式axbxc0的解．

221

2