小结板书设计及设计说明

《基本不等式》

教学设计

一、教学目标

1、知识与技能：理解、熟记和应用基本不等式来解决最值问题；

2、过程与方法：通过总结基本不等式的相关口诀，解决4类基本不等式题型；

3、情感、态度与价值观：通过总结简单易懂、郎朗上口的基本不等式口诀，调动学生学习的积极性和主动性，题型由浅入深，使学生在不断解决问题的过程中不断获得满足感，从而掌握基本不等式的形式与应用。

二、教学重点

基本不等式的4类应用技巧。

三、教学难点

“配凑法”和“分离常数法”的基本不等式题型的应用。

四、课时安排：1课时

五、教学过程

1、例题展示：已知x0，则函数yx的最小值是

意图：通过例题引入基本不等式的相关内容的回顾。

2、知识点回顾总结：（基本不等式总口诀：一正二定三相等）

（1）一正：a0,b0

（2）二定：积定和最小 ab2ab

ab

和定积最大

ab

221x（3）三相等：当且仅当ab时，等号成立，ab（或ab）取得最小（大）值。

3、例题1：已知x0，则函数yx的最小值是

1x

第

1 页

共

5 页

分析：x0，则0

（一正）

x2x2

（二定积）

当且仅当x时，等号成立，yx取得最小值2.

（三相等）

选题用意：加强学生对基本不等式“积定和最小”的三步口诀的实际应用。

1x1x1x1x1x例题2：设x0,y0，且xy18，则xy的最大值为（

）

A.80

B.77

C.81

D.82

分析：

x0,y0

（一正）

xyxy22218281

（二定和）

当且仅当xy时，等号成立，xy取得最大值81.

（三相等）

选题用意：加强学生对基本不等式“和定和最大”的三步口诀的实际应用。

练习1：已知fxx1x2x0，则fx有（

）

A.最大值0

B.最小值0

C.最大值-4

D.最小值-4 分析：x0，则x0,1x0

fxx1x2x1x22x1x2224

当且仅当x1x时，等号成立，fxx1x2x0取得最大值-4。

选题用意：题型与例题1相似，但增加了提取符号，不等式方向改变这一步，可以训练学生对数字的敏感度与计算能力。

练习2：已知a,b0,，且ab1，则ab的最大值为（

）

A.1

B.1

C.1

D.2422

分析：a,b0,

第

2 页

共

5 页

ab11ab

22422

当且仅当ab时，等号成立，ab取得最大值。

选题用意：再次加强学生对基本不等式“和定和最大”的三步口诀的实际应用。

4、拓展一：设x,y0，且x4y1，则的最小值为（

）

A.8

B.9

C.10

D.11 分析：x0,y0，则

又x4y1

()x4y

当且仅当1x1y1x1y4yx4yx525459

xyxy4yx0,0

xy1x1y144yx11时，等号成立，取得最小值9. xyxy选题用意：加强学生对基本不等式的深入理解，学会观察判断处理所求式子的形式：当式子分子部分是常数，分母含有未知符号时，可将式子乘以等于1的含有对应未知符号的式子，便于后面求定积值。

5、拓展二：已知x，则函数y4x2

分析：

x510

，则54x0,454x541的最大值为

4x5

y4x21114x5354x3

4x54x554x

254x.13231

54x11时，等号成立，y4x2取得最大值9. 54x4x5

当且仅当54x选题用意：加强学生对基本不等式的深入理解，当式子含有整式部分和分式部分时，要利用“配凑法”变形构造将整式变形为与分式的分母一致，便于后面定积

第

3 页

共

5 页

值；当两部分都是负数，要利用基本不等式来求最值时，必须提取负号，不等号方向要进行改变。这种题型主要是训练学生的观察整理和计算能力。

6、拓展三：当x0时，函数fx2x有（

）

x21

A.最小值1

B.最大值1

C.最小值2

D.最大值2 分析：x0，则0

fx2x2221

x21x1122xxx1x2x取得最大值1. x211x

当且仅当x时，等号成立，fx选题用意：加强学生对基本不等式的深入理解，当式子是分子分母都含有未知符号的分式时，要利用“分离常数法”将分子化为只含实数；当未知符号在分母时，利用基本不等式来求最值时，不等号要改变方向。

7、课堂小结

（1）基本不等式的口诀；

（2）利用基本不等式来求最值的四种题型：基本题型；式子乘以1结果不变题型；配凑法题型；④分离常数法题型。

8、布置作业

（1）已知函数fx4xx0,a0在x3时取得最小值，则a

（2）若实数a,b满足ab，则ab的最小值为

（3）实数x,y满足x2y2，则3x9y的最小值是

（4）若2x2y1，则xy的取值范围是（

）

A.0,2

B.2,0

C.2,

D.,2

（5）已知a0,b0,ab1，则的最小值为

第

4 页

共

5 页

4x1a2b1a1b

（6）已知a0,b0,a2b3，则的最小值为

（7）已知函数yx49当xa时，y取得最小值b，则ab等于(

) x1，x12a1bA.-3

B.2

C.3

D.8 （4）设x1，则函数yx5x2的最小值为

x1选题目的：在加强学生对本节课四种基本不等式题型的应用时，不断训练学生对式子的观察、整理和计算能力。

9、板书设计

基本不等式

一正：a0,b0

二定：ab2ab

ab

ab

22

多媒体投影

三相等：当且仅当ab时，等号成立，ab（或ab）取得最小（大）值。

第

5 页

共

5 页