3.1.2 复数的几何意义教学设计及教案分析

3．1.2

复数的几何意义

预习课本P104～105，思考并完成下列问题

(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？

(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？

[新知初探]

1．复平面

2．复数的几何意义

. 3．复数的模

―→(1)定义：向量OZ的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．

(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|. (3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．

[点睛]

实轴、虚轴上的点与复数的对应关系

实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．

[小试身手]

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．(

) (2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．(

) (3)复数的模一定是正实数．(

) 答案：(1)√

(2)×

(3)×

2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为(

) A．(0,1)

答案：A 3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是(

) A．z＝1＋2i C．z＝－1＋2i 答案：B 4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________. 答案：5

复数与点的对应关系

B．z＝1－2i

D．z＝－2＋i

B．(1,0)

C．(0,0)

D．(1,1) a2－a－6[典例]

求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Za＋3满足下列条件：

(1)在复平面的第二象限内．

(2)在复平面内的x轴上方．

[解]

(1)点Z在复平面的第二象限内，

a－a－6＜0，则a＋3

a2－2a－15＞0，解得a＜－3. (2)点Z在x轴上方，

2a－2a－15＞0，则

a＋3≠0，2

即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. [一题多变] 1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．

解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，

所以a＝5. 故a＝5时，点Z在x轴上．

2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．

解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，

a2－a－62所以＋a－2a－15＋7＝0，

a＋3即a3＋2a2－15a－30＝0，

所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±15. 所以a＝－2或a＝±15时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．

利用复数与点的对应解题的步骤

(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．

(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．

[典例]

(1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝5，则复数z＝(

) A．1＋2i

C．±1±2i

B．－1－2i

D．1＋2i或－1－2i 复数的模

(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是(

) A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) C．(1，＋∞)

B．(－1,1)

D．(0，＋∞) [解析]

(1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，

由|z|＝5得

a2＋4a2＝5，

解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i. (2)因为|z1|＝

a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，

所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，所以a2＜1，

即－1＜a＜1. [答案]

(1)D

(2)B

复数模的计算

(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．

(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．

[活学活用]

1．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是(

) A．(－22，22) C．(－1,1)

B．(－2,2)

D．(－3，3) 解析：选D

因为|z|＜2，所以1＋a2＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－3＜a＜3. 12．求复数z1＝6＋8i与z2＝－－2i的模，并比较它们的模的大小．

21解：∵z1＝6＋8i，z2＝－－2i，∴|z1|＝62＋82＝10，

2|z2|＝

复数与复平面内向量的关系

－12＋－22＝3.∵10>3，∴|z1|>|z2|. 222―→―→―→―→

[典例]

向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是(

) A．－10＋8i C．0

B．10－8i

D．10＋8i ―→―→―→[解析]

因为向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，所以OZ1＝―→―→―→―→―→(5, －4)，所以OZ2＝(－5，

4) ，所以OZ1＋OZ2＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以OZ1＋OZ2对应的复数是0. [答案]

C

(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．

(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离．如|z－i|＝1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.

[活学活用] 在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．

13z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i. 2213解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2－，，

22Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量OZ――→2，OZ――→4分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．

1，OZ3，OZ

各复数的模分别为：|z1|＝12＋－12＝2；

|z2|＝

－12＋32＝1；

22|z3|＝－22＝2；|z4|＝22＋22＝22. 层级一

学业水平达标

1．与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是(

) A．e1对应实数1，e2对应虚数i B．e1对应虚数i，e2对应虚数i C．e1对应实数1，e2对应虚数－i D．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i 解析：选A

e1＝(1,0)，e2＝(0,1)．

22．当＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于(

) 3A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

2解析：选D

∵＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．

33．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是(

) A．(1，3) C．(1,3)

B．(1，5)

D．(1,5) 解析：选B

|z|＝a2＋1，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，5)．

―→―→―→4．在复平面内，向量AB对应的复数是2＋i，向量CB对应的复数是－1－3i，则向量CA对应的复数为



A.1－2i C.3＋4i

B.－1＋2i

D.－3－4i ―→―→―→―→―→解析：选D

由题意知AB＝(2,1)，CB

(－1，－3)CA＝CB＋BA＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，

∴CA对应的复数为－3－4i. 5．复数z＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为(

)

αA．2cos

2αC．2sin

2α

B．－2cos

2α

D．－2sin

2αα4cos2＝2|cos|.∵π＜α＜2π，22解析：选B

|z|＝1＋cos α2＋sin2α＝2＋2cos α＝ααπα∴＜＜π，cos＜0，于是|z|＝－2cos. 22226．在复平面内，O为坐标原点，向量OA―→对应的复数为－2－i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB―→对应的复数为________．

解析：复数－2－i对应点A(－2，－1)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(1,2)，

―→∴OB―→对应的复数为1＋2i. 答案：1＋2i 7．过原点和3－i对应点的直线的倾斜角是________．

解析：∵3－i在复平面上的对应点是(3，－1)，

∴tan α＝答案：－1－035π＝－(0≤α＜π)，∴α＝. 363－05π

68．若复数z满足zi＝1－i，则z＝________. 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则zi＝1－i，得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i. －b＝1，a＝－1，由复数相等的充要条件得即

a＝－1，b＝－1.

∴z＝－1－i. 答案：－1－i 9．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z. 解：∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，

又|－1＋i|＝2，由|z－1|＝|－1＋i|，

得

a2＋1＝2，解得a＝±1，∴z＝±i. 10．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．

(1)若z是实数，求m的值；

(2)若z是纯虚数，求m的值；

(3)若在复平面内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．

解：(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，

解得m＝－3或m＝1. (2)∵z为纯虚数，

mm－1＝0，∴2

解得m＝0. m＋2m－3≠0.

(3)∵z所对应的点在第四象限，

mm－1＞0，∴2

解得－3＜m＜0. m＋2m－3＜0.故m的取值范围为(－3,0)．

层级二

应试能力达标

1．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

解析：选B

复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应点的点在第二象限，故选B. 2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则(

) A．a≠2或a≠1 C．a＝0

B．a≠2且a≠1

D．a＝2或a＝0 解析：选D

∵z在复平面内对应的点在虚轴上，

∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0. 3．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在(

) A．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

x＋y＝3，解析：选A

∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴

x－y＝－1，x＝1，解得∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．

y＝2，

4．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z2|＝41，则z2＝(

) A．4＋5i C．3＋4i

B．5＋4i 132

D．5＋4i或＋i 5522x－1＋y－2＝20，x＝5，解析：选D

设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，22

∴

x＋y＝41.y＝4

或32y＝5.1x＝，5

故选D. 5．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为2，则a＝________，复数z的共轭复数z＝________. 解析：∵a2＋－12＝2，且a＞0，∴a＝1，则z＝1－i，∴z＝1＋i. 答案：1

1＋i 6．已知复数z＝x－2＋yi的模是22，则点(x，y)的轨迹方程是________．

解析：由模的计算公式得

∴(x－2)2＋y2＝8. 答案：(x－2)2＋y2＝8 7．已知复数z0＝a＋bi(a，b∈R)，z＝(a＋3)＋(b－2)i，若|z0|＝2，求复数z对应点的轨迹．

x＝a＋3，解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则复数z的对应点为P(x，y)，由题意知

y＝b－2，a＝x－3，∴

①

b＝y＋2.x－22＋y2＝22，

∵z0＝a＋bi，|z0|＝2，∴a2＋b2＝4. 将①代入得(x－3)2＋(y＋2)2＝4. ∴点P的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆．

138．已知复数z1＝3＋i，z2＝－＋i. 22(1)求|z1|及|z2|并比较大小；

(2)设z∈C，满足条件|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的轨迹是什么图形？

解：(1)|z1|＝

|z2|＝

32＋12＝2，

－12＋32＝1，∴|z1|＞|z2|. 22(2)由|z2|≤|z|≤|z1|及(1)知1≤|z|≤2. 因为|z|的几何意义就是复数z对应的点到原点的距离，所以|z|≥1表示|z|＝1所表示的圆外部所有点组成的集合，|z|≤2表示|z|＝2所表示的圆内部所有点组成的集合，故符合题设条件点的集合是以O为圆心，以1和2为半径的两圆之间的圆环(包含圆周)，如图所示．