3.1.2 复数的几何意义教学实录

4.1数系的扩充和复数的概念

【学习目标】

1. 了解数的概念的发展过程和数集扩充到复数的必要性；

2. 理解复数的有关概念以及符号表示；

3. 掌握复数的代数表示形式及复数相等的充要条件；

4. 掌握复平面与复数的几何意义；

5

掌握复数的模或绝对值

6. 在问题情境中了解数系得扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求根）在数系扩充过程中的作用，感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系．

【教学重点】引进虚数单位i的必要性、对i的规定以及复数的有关概念．

【教学难点】复数概念的理解．

【学情分析】

在学习本节前，学生对数的概念已经扩充到实数，也已清除各种数集之间的包含关系等内容，但知识是零碎、分散的，对数的生成发展的历史和规律缺乏正题认识与理性思考，知识体系还未形成。另一方面，学生对方程解的问题会默认在实数集中进行，缺乏严谨的思维习惯。

基于以上分析，本节课的学习目标如下：

（1）

通过回忆数系的扩充过程，观察所列举的复数能简述复数的定义，并能说出复数的实部与虚部；

（2）

通过小组讨论将复数分类，并能用语言或图形表达复数的分类，会解决含有字母的复数的分类问题；

（3）

通过比较给出的两个复数能归纳出复数相等的充要条件，并能解决与例题相似的题目；

（4）

通过类比平面直角坐标系的点，总结出复平面及复平面的几何意义；

（5）

通过点到原点的距离公式，进一步得出复数的模或绝对值的公式，并能解决例题类似题目

知识形成过程：

1．

数系的扩充

对数集因生产和科学发展的需要而逐步扩充的过程进行概括（教师引导学生进行简明扼要的概括和总结）

自然数→分数→负数→整数→有理数→无理数→实数

2．问题引入

2x

我们知道，对于实系数一元二次方程10，没有实数根．我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数集中，该问题能得到圆满解决呢？

3．组织讨论，研究问题

2

我们说，实系数一元二次方程x10没有实数根．实际上，就是在实数范围内，没有一个实数的平方会等于负数．解决这一问题，其本质就是解决一个什么问题呢？

组织学生讨论，引导学生研究，最后得出结论：最根本的问题是要解决－1的开平方问题．即一个什么样的数，它的平方会等于－1．

4．引入新数i，并给出它的两条性质

根据前面讨论结果，我们引入一个新数i，i叫做虚数单位，并规定：

（1）i1；

（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍然成立．

有了前面的讨论，引入新数i，可以说是水到渠成的事．这样，就可以解决前面提出的问题（－1可以开平方，而且－1的平方根是i）．

5．提出复数的概念

根据虚数单位i的第（2）条性质，i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法交换律及加法交换律，从而可以把结果写成abi这样，数的范围又扩充了，出现了形如

abi(a,bR)的数，我们把它们叫做复数．

全体复数所形成的集合叫做复数集，一般用字母C表示，显然有：

N*NZQRC．

2

6.复数的分类

【巩固练习】

1.说明下列数中，哪些是复数，哪些是实数，哪些是虚数，哪些是纯虚数？并分别指出这些复数的实部与虚部各是什么？

2227,

0.618，i，0

，i

，i(13），392i，5i8，

7

sin6icos6例1.实数m分别取什么值时，复数z＝m+1＋(m-1)i是

(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？

7.复数相等

根据复数的概念，提出问题，对任取两个复数a+bi与c+di，如果这两个复数相等相等，你能得出怎样的结论？教师引导，回忆两个多项式相等的充要条件，通过类比，得出两个复数相等的充要条件a+bi=c+di

a=c,b=d,特别地，a+bi=0

a=0,b=0.

这里需要注意的是，两个实数可以比较大小，一个实数与一个虚数或两个虚数是不可以比较大小的.

例2、

已知(2x1)iy(3y)i,其中，x,yR，求x与y．

例3、

下列命题中正确的有_____ （A）若

z



C

,则

z20i

(x,y为实数)的充要条件是x（B）

若

x



yi



1





y



1

（C）1＋ai是一个虚数

（D）若a＝0，则a＋bi为纯虚数

8.复平面与复数的几何意义

类比平面直角坐标系，提出复平面的概念，进而引出每一个复数在复平面内都有唯一的一个点与它对应,复数集C和复平面内的所有点构成的集合是一一对应的，即任一个复数z=a+bi与复平面内的点Z（a,b）是一一对应.

9.复数的模或绝对值

设复数z=a+bi在复平面内对应的点是Z（a,b）,点Z到原点O的距离|OZ|叫做复数z的模或绝对值，记作|z|. 显然，|z|=a2b2.

例4、

在复平面内表示下列复数，并分别求出他们的模：

（1）-2+3i

(2)



i

(3)3-4i

(4)-1-3i

1232

练习：

1、若x，y为实数，且

x



y



x



yi



2



4

i

，求x,y. 22

2、(2x23x2)(x25x6)i0求x的值.

3、已知x2(12i)x3mi2i0(mR),求实数m的值.

4、求下列复数的模：（1）-5+2i （2）4i-5 (3)

3i

【课堂小结】

一、数系的扩充；

二、复数有关的概念：

1、复数的代数形式；

2、复数的实部、虚部。

3、虚数、纯虚数；

4、复平面与复数的几何意义

5、复数的模或绝对值

三、复数相等

【课后作业】

1.课本P11276，A组

1、4

2.优化设计：P29~P32