1.3 二项式定理（通用）国家优质课一等奖

《1.3.1二项式定理(第一课时)》教学设计

潮南区井都中学

姚宏州

一、教材分析

《1.3.1二项式定理》是《普通高中课程标准实验教科书-数学》选修2-3第一章第三部分第一节的内容，这节课内容上只有一个二项式定理但它却是前面内容的继续，也是后面内容的开始。

在计数原理之后学习二项式定理，一方面是因为它的证明要用到计数原理，可以把它看做为计数原理的一个应用。另一方面也是为后面学习随机变量及分布做准备。同时二项式系数是一些特殊的组合数，有二项式定理可推导出一些组合数的恒等式，这对深化组合数的认识起到了很好的促进作用。可见二项式定理是一个承上启下的内容，问题类型具有较强的综合性，可以连接不同内容的知识。

二、教学目标

1、知识与技能目标

（1）能利用计数原理证明二项式定理

（2）理解掌握二项式定理，并能简单应用

（3）能够区分二项式的系数与二项展开式的系数

2、过程与方法目标

通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察，分析，归纳的能力，以及转化化归的意识与知识迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式。并经历数学解决问题的一般思路：发现问题，提出假设，证明假设，

3、情感与态度目标

通过探究问题，归纳假设让学生在学习的过程中养成独立思考的好习惯，在自主学习中体验成功，在思索中感受数学的魅力，让学生在体验知识产生的过程中找到乐趣。

三、教学重点难点

（1）教学重点：归纳二项式定理及二项式定理的应用

（2）教学难点：二项式定理中单项式的系数

（3）教学难点的突破：二项展开式中的系数问题，通过两个问题去考察计数原理在因式分解中的应用，从而提出在猜想中的各因式的特点，降幂排列，或升幂排列，系数是看成取谁

的一个组合问题，从而很容易的就突破了难点，使学生不感到突然，或是难以接受。

四、教法学法

为了突破难点，突出重点，我先采用设疑法将学生的兴趣吸引到课堂中来，然后让学生利用计数方法解决两个问题，随后应用归纳猜想的方法得出本节课的重点，层次分明，起点低，落点高，达到了低步伐高效率。在后面的教学中我注意到我班学生的本身特点，采用探究，思考，自主练习，提问的方式学习这节课的。

五、教学过程

教学程序

问题

问题设计意图

师生活动

创今天是星期五，再过22011天后视星期提出问题激发学让学生用计算器计算

设几，你知道吗

问1 乘积题情境

引入新课

3 由(a+b)1=a+b (a+b)=a+2ab+b; (a+b)=a+3ab+3ab+b 观察展开式中的项数、指数变化以及系数变化，你发现了什么？由此猜想（a+b）

，（a+b）,(a+b)的展开式中项数，指数变化及系数变化又如何呢？并试着写出他们的展开式。

45n33223222生探索欲望

考察学生对计数学生思考，让学生说出思考的过程，为后面做铺垫。

(a1a2a3)(b1b2b3)(c1c2c3c4c5)原理的应用，及对有几项

因式展开原理的理解

5232 展开（a+b），其中ab的系数是______ 考察学生对因式学生说出自己的思展开的某项的系数理解

路，老师要做分析与讲解为后面猜想做铺垫

让学生通过特例去观察相同之处与不同之处，以及不同之处的处理方法，从而提出猜想。

学生先观察总结特点：1、项数是指数加1；2、字母a按降幂排列，字母b按照升幂排列，二者指数之和是二项式指数；3、每一项的系数有上面的问题2给出，这很好的突破了本节的难点。

2

4 对于猜想

0nn12n22(ab)nCnaC1nabCnab...rnrrnnCnab...Cnb让学生分析等式特点，猜想数学归

纳法可以证明，让学有余力的学生课下完成，得到二项式定理。

学生自己阅读课本上的证明方法，老师最后做出方法归类，提示学生证明的思路。并留下课下演练二项式定理的数学归纳法证明。

我们如何进行证明呢？

思1 观察二项展开式中的项数、指数以及考察学生的观察学生继续总结这三考观察

系数有何特点，谁最具代表性？

力，以及分析问题的能力。

点，以强化已有的认识，同时老师强调：二项式系数，与二项展开式系数的区别。

学2 特殊的1、用-b代替b.2、令对二项式定理的学生自主完成，老师习新课

a=1,b=x.3、令a=1,b=1.4、令简单应用，同时也是告诉学生二项式定理在解决问题时的方法：赋值或是赋表达式。

进行检查，错误时做出点拨与分析。

a=1,b=-1时试着写出他们的二项展开式

精1 例题1、

讲精析

求(12x)5的展开式，并求出展开式中第4项的系数，及含x项的系数

2熟悉二项式定理，教师板演过程，给学以及对二项式系生以示范，为后面步数，展开式系数，骤的整洁做铺垫。

以及x的系数问题的理解与记忆。

熟悉二项式展开让学生先思考，得到直接利用公式展开，老师反问这很复杂，有没有简单的方法呢？提示通项是每一项具有的特点能否应巩2 例题2：

固新知

判断(3x包含常数项?

21x)的展开式中是否10式的通项，并初步应用。

3

用它呢？告诉学生通项的作用。

反3 课堂练习

馈练习

1、求(2x14)的展开式x熟悉二项式定理，学生自主练习，反馈二项式系数，二项展开式系数，以及通项的初步应用

教学效果，老师巡视做个别辅导。

2、求（12x)7的展开式第4项的系数

13、求（x)7的展开式中x3的系数x破今天是星期五,再过22011 天后是星期破解疑惑让学生学生提出解决思路，解几,你知道吗？

疑

惑

感受计算的简单与快捷，增强对数学学习的热情，

老师点评分析，怎么才能被7整除好计算呢?联想二项式定理的表达形式，问题得到解决，留为课下计算。

他是怎么得到让学生回顾本节学生说，教师课件演课本节课你学习了什么知识，观察学生掌示，并强调：二项式堂的呢？在学习这部分知识时要注意什么要点，小呢？

结

握情况。

系数与二项展开式系数的区别。

继续渗透转化化学生思考所学知识二课(x23x2)5展开式中x的系数为_____. 下思考

思考延续

归的思想方法，

项式定理。如何转化才可以解决呢？-------化成两项

4

六、板书设计

(a+b)4=…….

例题1：。。。。。。。

(a+b)5=……..

。。。。。。。。

猜想(a+b)n=…….

。。。。。。。。

说明：1、……..

例题2：。。。。。。

2、.........

。。。。。。

3、…….

5