回顾与思考名师课堂实录

复习：一元二次方程及应用

学习目标

1、掌握一元二次方程的概念。

2、会用不同的方法解一元二次方程。

3、能用方程解决生活中的实际问题。

学习重、难点

解一元二次方程及列方程解应用题

教学设计

知识点一

：

一元二次方程及其解法

1、一元二次方程：

只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程。

2、一般形式：

ax2＋bx＋c＝0（其中a、b、c为常数，a≠0），其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项，a、b分别称为二次项系数和一次项系数。

3、

一元二次方程必须具备三个条件

（1）必须是整式方程。

（2）必须只含有一个未知数。

（3）所含未知数的最高次数是2。

【温馨提示】在一元二次方程的一般形式中要注意a≠0.因为当a＝0时，不含有二次项，即方程就不是一元二次方程。

4、一元二次方程的解：

使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。

5. 一元二次方程的解法：

方法

适用题型

方法或步骤

1、观察方程是否符合x2＝m（m≥0）或

x2＝m（m≥0）（x±m）2＝n（n≥0）的形式。

直接开平方法

＝n（n≥0）

3、解这两个一元一次方程得原方程的两

个根。

1、化二次项系数为1，得

x

2



b

x



c



0

aa或（x±m）22、直接开方，得两个一元一次方程。

bc2、移项，得x＋

x＝－

；

aa2配所有一元二次

bb2cb2

x

2

方方程ax2＋bx3、

配方，得

x

a

4

a

2

a

4a2法

＋c＝0（a≠0）

bb24acx2a4a24、整理，得___________________ 2b5、

直接开平方，得x＋

＝±

2a

b24ac2a6、解这两个一元一次方程得方程的两个根

1、把方程化为ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的

形式。

公所有有根的一式元二次方程

法

2、确定a、b、c的值。

3、求出b2－4ac的值。

4、将a、b、c的值代入

x＝

因1、将方程右边化为0；

式

左边能分解因2、将方程左边进行因式分解；

分式，右边为03、令每个因式都等于0

，得两个一元一次解的方程

法

方程；

4、解这两个一元一次方程得方程的两个根

知识点二

： 一元二次方程根的判别式

1、根的判别式：

一般地，式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“Δ”表示，即Δ＝b2－4ac。

2、一元二次方程根的情况与判别式的关系：

（1）b2－4ac＞0⇔方程有 两个不相等 的实数根。

（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根。

（3）b2－4ac＜0⇔方程

没有

实数根。

知识点三：一元二次方程的应用 1、列一元二次方程解应用题的步骤和列一元一次方程（组）解应用题的步骤相同，即审、设、列、解、验、答六步。

2、列一元二次方程解应用题中，经济类和面积类问题是常考类型，解决这些问题应掌握以下内容：

（1）增长率等量关系：

A、增长率＝

增长量100%；基础量 B、设a为原来量，m为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量，则有a（1＋m）n＝b；当m为平均下降率，n为下降次数，b为下降后的量时，则有 a（1－m）n＝b。

（2）利润等量关系：

A、利润＝售价－成本；

B、利润率＝ 利润100%成本（3）面积问题常见图形归纳如下： 第一：如图①，矩形ABCD长为a，宽为b，空白部分的宽为x，则阴影部分的面积表示为 （a－2x）（b－2x）。

第二：如图②，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影部分的宽为x，则空白部分的面积为（a－x）（b－x）。

第三：如图③，矩形ABCD长为a，宽为b，阴影部分的宽为x，则空白部分的面积为（a－x）（b－x）。

四、常考类型

类型一

解一元二次方程

类型二

一元二次方程根的判别式

类型三

一元二次方程的应用

类型一

解一元二次方程

例1

一元二次方程x2－3x＝－2的解是（A）

A. x1＝1，x2＝2

B. x1＝－1，x2＝2

C. x1＝－1，x2＝－2

D. 方程无实数解

【解析】方法一——因式分解法：方程移项得x2－3x＋2＝0，因式分解得（x－1）（x－2）＝0，解得x1＝1，x2＝2. 方法二——公式法：移项得x2－3x＋2＝0，代入公式得

1x＝

3

9

8

＝

3，

即x1＝1，x2＝2. 22拓展题：一元二次方程x2－8x－1＝0配方后可变形为

（

）

A、( x＋4)2＝17

B、( x＋4)2＝15 D、

( x－4)2＝15 C、

( x－4)2＝17

【解析】原方程变形为：x2－8x＝1，方程两边同时加上一次项系数一半的平方得，x2－8x＋16＝1＋16，整理为(x－4)2＝17。

类型二

一元二次方程根的判别式

拓展题：已知关于x的方程x2－2x＋3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（

）

A. k<

1313B. k>－

1313C. k<

且k≠0

D. k>－

且k≠0 【解析】本题考查一元二次方程根的判别式。

∵方程x2－2x＋3k＝0有两个不相等的实数根，∴b2－4ac>0，即

(－2)2－4×3k>0，解得k<

类型三：

一元二次方程的应用

例3、某种品牌运动服经过两次降阶，每件零售价由560元降为315元，已知两次降价的百分率相同，求每次降价的百分率，设每次降价的百分率为x，下面所列的方程中正确的是（

）

A、560（1＋x）2＝315

B、560（1－x）2＝315

C、560（1－2x）2＝315

D、560（1－x2）＝315 【解析】设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格×（1－降价的百分率）、则第一次降价后的价格是560（1－x），第二次降价后的价格是560（1－x）2据此可列方程为：

560（1－x）2＝315 课堂小结：

1、一元二次方程的解法。

2、列方程解应用题的思路。

作业：练习册上课时内容。

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寄语：

哪怕考题深似海，

沉着冷静搏未来。