回顾与思考ppt配套的教案及板书设计

第二十一章《一元二次方程》的复习

大兴镇小凉山学校 刘红光

【学习目标】

1．记住一元二次方程的概念．

2．能根据不同的一元二次方程的特点，选择恰当的方法求解，使解题过程简单合理．

3．能用判别式b2－4ac判断一元二次方程根的情况．

bc4．记住：如果ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－，x1x2＝.并aa对这一性质进行运用．

5．能根据数量之间的关系，列出一元二次方程解决应用题．

【学习重点】

一元二次方程的解法．一元二次方程的应用题．

【学习难点】

列一元二次方程解决实际问题．

教学建议：建议本课时分两个课时，第一课时情景导入、自学自研并交流展示知识模块一、二，第二课时复习知识结构并交流展示知识模块三、四、五．

情景导入

生成问题

知识结构我能建：

1.概念：只含有一个未知数；并且未知数的最高次数是2的[来源学科网] 整式方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是ax＋bx＋c＝0（a≠0）Ｗ.（1）直接开平方法，适用于能化为（x＋m）＝n（n≥0） 的一元二次方程；（2）配方法；2.解法－b±b－4ac（3）公式法，其中求根公式是x＝；2a一元二次方程（4）因式分解法，即把方程变形为ab＝0的形式，（a，b为

 两个因式），则a＝0或b＝0Ｗ.（1）当b－4ac>0时，方程有两个不相等的实数根；3.根的判别式（2）当b－4ac＝0时，方程有两个相等的实数根；（3）当b－4ac<0时，方程没有实数根.4.根与系数的关系：若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）的解是bc x、x，则x＋x＝－，x·x＝Ｗ.aa5.一元二次方程的应用.2222222121212自学互研

生成能力

第一课时

知识模块一

一元二次方程的有关概念

只含有一个未知数

考点1： 一元二次方程的定义 求知数的最高次数是 2 方程两边都是整式

例题1：下列方程中哪些是一元二次方程？

(1)x2x250(2)4x23y10(3)5x32xy90(4)x(x1)2x2(5)a210(6)(m2)21是一元二次方程的有：(1) (6) a练习1：判断下列方程，哪些是一元二次方程（ C ）

1（A）x3－２ｘ2＋５＝０； （B）2－2x＋1＝0；

x（C）２（ｘ＋１）2＝３（ｘ＋１）； （D）ｘ2－２ｘ＝ｘ2＋１.

考点2：一元二次方程的一般式：axbxc0

（a、b、c是常数且a≠0）

2其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

【主题升华】

一元二次方程满足的四个条件

1

2

3

4

只含有一个未知数

未知数的最高次数是2

整式方程

二次项系数不为0

B. x2=0 D.x2+ x -5=0 42、

下列方程中,一定是一元二次方程的是( B

) A.ax2+bx+c=0

C.3x2+2y- 2 =0

13、一元二次方程2x2-3x-2=0的二次项系数是 ,一次项系数是 ,常数项是 . 【解析】项和系数都包括它前面的符号,所以二次项系数是2,一次项系数是-3,常数项是-2. 答案:2;-3;-2 例题2：方程（m + 2） x |m| + 3mx + 1 = 0 是关于 x 的一元二次方程，m 的值为______；若是关于 x 的一元一次方程，m 的值为____________．

m21(m1)x3x10是关于x的一元二次方程，则m= 。

练习2：1.若方程

知识模块二

一元二次方程的解法

考点3：一元二次方 程的解法

1.直接开平方法: ax2=p(p≥0)或(ax+m)2=n（n≥0）

2.配方法: 一元二次方程的解法 步骤：1整理方程；2移项；3二次项系数化为1；4配方；5解方程. 3.公式法:

1.直接开平方法: 化成一般形式ax2bxc0 a0当b24ac0时,xbb4ac2a2

4.因式分解法: a.b=0,则a=0或b=0 对于形如ax2=p(p≥0)或(mx+n)2=p(p≥o)的方程可以用直接开平方法解

例题3:用直接开平方法解方程：

13(x2)260 229x26x10

2(3x1)0

解：3(x2)6 解：2(x2)2 3x10,3x10

1x1x23 x22 x122,x222 2.配方法: 我们通过配成完全平方式的方法,得到了一元二次方程的根,这种解一元二次方程的方法称为配方法

用配方法解一元二次方程的步骤: 1.整理：把一元二次方程整理成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0) ：

2.移项:把常数项移到方程的右边; 3.化 1:把二次项系数化为1(方程两边都除以二次项系数); 4.配方:方程两边都加上一次项系数绝对值一半的平方; 5.开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 6.求解:解一元一次方程;写出原方程的解.

2例题4: 用配方法解方程2xx60

1x2x3012 x2x30212

解：二次项系数化为 移项得： x2x3

111x2x()23()2 244

配方得： 149即 (x)2416

17x44

开平方得：

∴原方程的解为：

x12

, x232

3.公式法：一般地,对于一元二次方程 ax+bx+c=0(a≠0) 2bb24ac2x.b4ac0当b24ac0时,它的根是:2a

上面这个式子称为一元二次方程的求根公式. 用求根公式解一元二次方程的方法称为公式法.

老师提示: 用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0). 2.b2-4ac≥0.

例题5：

1　x21.53x 　2　　4x23x20 3　9x26x10

解：省略 解：省略 解：省略

4.因式分解法：当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二次方程的方法你为因式分解法.

老师提示: 1.用因式分解法的条件是:方程左边易于分解,而右边等于零; 2.关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”（a.b=0,则a=0或b=0）

知识回顾：

分解因式的方法有那些? （1）提取公因式法:am+bm+cm=m(a+b+c). （2）公式法:a2-b2=(a+b)(a-b), a2+2ab+b2=(a+b)2. （3）十字相乘法:x2+(a+b)x+ab=(x+a)(x+b).

例题6：用因式分解法解下列方程: (2)5x22x(1)x(x-2)+x-2=0; 解：省略 解：省略 解：省略

13x22x442(3)x2x150.

练习3：解法

1.按要求解方程（请四位学生上黑板做题，其他同学做在空调课堂作业本上）

222213x1202x6x70(3)x4x70(4)x390

（直接开平方法）； （配方法）； （公式法）； （因式分解法）. 解：省略 解：省略 解：省略 解：省略

学生做完后，教师进行讲评

第一节课完：同学们课间休息十分钟后，我们再继续复习！

第二课时

2.用适当的方法解下列方程（请四位学生上黑板做题，其他同学做在空调课堂作业本上）

（1）x2+8x-15=0 （2）x2-6x+9=0 （3）x2+3x=-1.5 （4）t2+6t-7=0 解：省略 解：省略 解：省略 解：省略

学生做完后，教师进行讲评

知识模块三

一元二次方程的根的判别式

考点4：一元二次方程的根的判别式

△

=b－4ac

2(1)b－4ac>0⇔方程有____________的实数根；

判别式与根的关系

(2)b2－4ac＝0⇔方程有___________的实数根；

(3)b－4ac<0⇔方程________实数根

1在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件

防错提醒 2一元二次方程有实数根的条件是22什么？

例7.（1）不解方程判断方程根的情况：

x2-2kx+4(k-1)=0 (k为常数) 解：a=1, b=-2k, c=4(k-1) △=4 k2-16k+16 =4( k2-4k+4) =4( k-2)2

∴

△≥ 0方程有实根

（2）已知m为非负整数，且关于x的一元二次方程(m2)x2(2m3)xm20有两个实数根，求m的值。 解：∵方程有两个实数根

2[(2m3)]4(m2)(m2)0并且m20（且m为非负整数）

∴ 解得：m21且m212

又 ∵m为非负数

∴m=0或m=1 说明：当二次项系数也含有待定的字母时，要注意二次项系数不能为0，还要注意题目中待定字母的取值范围. 练习4：

1.证明 x-(2+m)x+2m-1=0 (m为常数) 有两个不相等的实数跟

2解：省略

2.已知关于x的一元二次方程x2＋2x＋2k－4＝0有两个不相等的实数根．

(1)求k的取值范围；

(2)若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．

解：省略

判别式逆定理

若方程有两个

不相等的实数根,则b2-4ac＞0 若方程有两个

相等的实数根,则b2-4ac=0 若方程没有实数根,则b2-4ac＜0 若方程有两个

实数根,则b2-4ac≥0 知识模块四

一元二次方程的应用

考点5 一元二次方程的应用

命题角度：1．用一元二次方程解决变化率问题；

2．用一元二次方程解决商品销售问题．

例8 [2013·淮安]小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1200元．请问她购买了多少件这种服装．

解：设购买了x件这种服装，根据题意得出：

[80－2(x－10)]x＝1200，

解得x1＝20，x2＝30，

当x＝30时，80－2(30－10)＝40＜50，不合题意，舍去．

答：她购买了20件这种服装．

练习5：要组织一场篮球联赛，每两队之间都赛2场，计划安排90场比赛，应邀请多少个球队参加比赛？

解：设应邀请x个篮球队参加比赛，根据题意，得

x（x－1）×2＝90. 2则x2－x－90＝0. 解得x＝10或x＝－9(舍去)．

答：应邀请10个篮球队参加比赛．

知识模块五

一元二次方程的根与系数的关系

考点6 (选学)一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程ax＋bx＋c＝0的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－

，x1x2＝

.

误区警示：利用一元二次方程根与系数的关系时，要注意判别式Δ≥0.

例题9：不解方程，求方程两根的和与两根的积．

(1)x2＋4x＋1＝0；

解：x1＋x2＝－4，x1·x2＝1 (2)3x2＋10＝2x2＋8x. 解：x1＋x2＝8，x1·x2＝10 练习6：已知x＝－1是方程x2＋mx－5＝0的一个根，求m的值及方程的另一根x2. 解：解法1：将x＝－1代入原方程，得 解法2：由根与系数的关系可得：

(－1)＋m·(－1)－5＝0，解得m＝－4.22[来源学, 科网] 2x2＋（－1）＝－m， x2·（－1）＝－5.m＝－4，当m＝－4时，方程为x－4x－5＝0， 解得

x2＝5.解得x1＝－1，x2＝5. ∴m＝－4，方程另一根x2＝5. 交流展示

生成新知

1．将阅读教材时“生成的问题”和通过“自主探究、合作探究”得出的“结论”展示在各小组的小黑板上．并将疑难问题也板演到黑板上，再一次通过小组间就上述疑难问题相互释疑．

2．各小组由组长统一分配展示任务，由代表将“问题和结论”展示在黑板上，通过交流“生成新知”．

知识模块一

一元二次方程的有关概念

知识模块二

一元二次方程的解法

知识模块三

一元二次方程的根的判别式[来源:Z#xx#k.Com]

知识模块四

一元二次方程的根与系数的关系

知识模块五

一元二次方程的应用

当堂检测

达成目标

【当堂检测】

1．方程5(x2－2x＋1)＝－32x＋2的一般形式是5x2－22x＋3＝0，其二次项是5x2，一次项是－22x，常数项是3．

2．关于x的方程(m－4)xm2－14－x＝5是一元二次方程，则m＝－4．

3．解下列一元二次方程：

(1)4(x－5)2－36＝0；

(2)3x2＋3x－2＝0； (3)x2＋10x＋9＝0； 解：4(x－5)2＝36. 解：a＝3，b＝3，c＝－2. 解：x2＋10x＋25＝－9＋25. (x－5)2＝9. b2－4ac＝9－4×3×(－2)＝33 (x＋5)2＝16. x＋5＝±3. x＝x1＝－2，x2＝－8. x1＝(4)x(x－3)＋x－3＝0. 解：(x－3)(x＋1)＝0. x1＝3，x2＝－1. 4．已知关于x的方程x2－2(m＋1)x＋m2－3＝0. (1)当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？

(2)设x1、x2是方程的两根，且(x1＋x2)2－(x1＋x2)－12＝0，求m的值．

解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，

∴Δ>0，即4(m＋1)2－4(m2－3)>0.解得m>－2. (2)方法一：∵(x1＋x2)2－(x1＋x2)－12＝0 ∴x1＋x2＝4或x1＋x2＝－3. ∵x1＋x2＝2(m＋1)，∴2(m＋1)＝4或2(m＋1)＝－3. 5∴m1＝1，m2＝－. 2方法二：4(m＋1)2－2(m＋1)－12＝0，化简得：2m2＋3m－5＝0. 5解得：x1＝1，x2＝－. 2【课后检测】本章单元检测练习1．收获：

_______________________________________________________ 来源:Zxxk.Com]－3±33－3±33＝. x＋5＝±4. 62×3x1＝－1，x2＝－9. －3＋33－3－33，x2＝.66[来

课后反思

查漏补缺

2．存在困惑： ______________________________ _______________________