平方差公式的运用第二课时教学设计

11.3

公式法教学设计

第1课时

平方差公式(板书)知识点：平方差公式．

教学目标

知识与技能

师讲：把乘法公式中的(a＋b)(a－b)＝a21．经历用公式法分解因式的探索过－b2反过来，就可得到分解因式中的平方差程．

2．会用平方差公式对多项式进行因式分解．

过程与方法

经历探索运用平方差公式分解因式的过程，体会逆向思维在数学中的作用．

情感、态度与价值观

体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法．

公式．

a2－b2＝(a＋b)(a－b) 语言叙述：(板书)两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积．

师问：此公式有何特点？学生探究分析，交流，在充分讨论基础上教师做出总结形成结论：

板书：结论：(1)左边是二项式，两项均能写成平方的形式，且符号相反．

(2)右边是这两个数的和与这两个数的差的积．

师：你能由以上知识分解下列几个多项式吗？

(1)x2+ y2；(2)x2-y2；

(3) -x2-y2；(4) -x2+y2 (5) x2-25y2(6) m2-1

学生口答，老师给予肯定或点拨．

二、

应用新知

典例精析教学重点

正确灵活地用平方差公式分解因式．

教学难点

因式分解结果的确定．

教学设计

一、

情境导入

我们知道整式乘法和因式分解是互逆过程。如我们把已经学过的乘法公式逆过来使用，就可以把某些具有特殊形式的多项式分解因式。

在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a＞b)(如图(1)所示)，通过计算两个图形(阴影部分)的面积，可以得到一个怎样的等式？

例1分解因式：(1)4x29;(2)(xp)2(xq)2.解:(1)原式=32x3)3;2x3)(2(22x)232(2a2-b2 =(a+b)(a-b)ap)2(xbq)2(x(2)原式(xp)(xq)(xp)(xq)(2xpq)(pq).

师讲：通过图形可以知道，图(2)是由图(1)拼成的，它们的面积相等．图(1)中阴影部分的面积为a2－b2；图(2)中阴影部分为长方形(长为a＋b，宽为a－b)，面积为(a＋b)(a－b)，因此(a＋b)·(a－b)＝a2－b2或a2－b2＝(a＋b)(a－b)．(a＋b)(a－b)＝a2－b2是乘法公式，而反过来a2－b2＝(a＋b)(a－b)，这是因式分解的另一种方法——公式法．

二、探究新知

方法总结例2把下列各式分解因式：(1) a3-16a；(2) 2ab3-2ab.(2) 2ab3-2ab公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.解：(1)a3-16a=a(a2-16)=a(a+4)(a-4)=2ab(b2-1)=2ab(b+1)(b-1).方法归纳：当多项式有公因式时，应先提出公因式，再看能否利用平方差公式进行因式分解.练一练练一练分解因式：把下列各式分解因式：(1)4x2-9y2；解：(1)4x2-9y2(2)(3m-1)2-9(2)(3m-1)2-9=(3m-1)2-32(1)x4y4;解：(1)原式＝(x2)2-(y2)2(2)a3bab.分解因式后，一定要检查是否还有能继续分解的因式，若有，则需继续分解.＝(x2+y2)(x2-y2)=(2x)2-(3y)2=(2x+3y)(2x-3y).=(3m-1+3)(3m-1-3)=(3m+2)(3m-4).＝(x2+y2)(x+y)(x-y);(2)原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1).分解因式时，一般先用提公因式法进行分解，然后再用公式法.最后进行检查.方法归纳：平方差公式中的a、b，是形式上的两个“数”，它们可以表示单项式，也可以表示多项式. 针对训练分解因式：(1)(a＋b)2－4a2；(2)9(m＋n)2－(m－n)2.解：(1)原式＝(a＋b－2a)(a＋b＋2a)＝(b－a)(3a＋b)；(2)原式＝(3m＋3n－m＋n)(3m＋3n＋m－n)用平方差公式分解因式的规范步骤应是什么？

师评：(1)要提取公因式；(2)变为两数平方式；(3)套用公式分解(4)分解到每个因式不能再分为止．

例3已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．＝(2m＋4n)(4m＋2n)＝4(m＋2n)(2m＋n)．若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.解：∵x2－y2＝(x＋y)(x－y)＝－2，x＋y＝1①，∴x－y＝－2②.联立①②组成二元一次方程组，1x,2解得y3.2a2-b2=(a+b)(a-b)22-(y+p)2 =2 =(x+z)22 （2mn）-2014( 3xy)2015－=

2．各种方法分别适合什么特点的多项例4计算下列各题：(1)1012－992；(2)53.52×4-46.52×4.解：(1)原式＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)原式＝4(53.52－46.52)=4(53.5＋46.5)(53.5－46.5)＝4×100×7=2800.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.式？

3．公式法分解多项式时应注意什么？

五、布置作业

教材课后作业A组、B组．

5.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．解：根据题意，得6.82－4×1.62＝6.82－(2×1.6)2＝6.82－3.22＝(6.8＋3.2)(6.8 －3.2)＝10×3.6＝36 (cm2)答：剩余部分的面积为36 cm2.当堂练习1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是(D)A．a2＋(－b)2B．5m2－20mnC．－x2－y2D．－x2＋92.分解因式(2x+3)2-x2的结果是（D）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3)D．3(x+1)(x+3)3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（A）A．-21 B．21 C．-10 D．10四、小结

课堂小结平方差公式：a2-b2=( )( )a+ba-b平方差公式分解多项式可化为____两个整式.多项式的特征相反两项符号_______.平方每一项都是整式的______.有公因式时，应先提出_______.公因式注意事项进行到每一个多项式都不能再分解为止.

1．我们学习了分解因式的哪几种方法？