29.4 切线长定理教学设计方案

29.4 切线长定理

教学目标

1．掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明．

2．了解有关三角形的内切圆和三角形的内心的概念．

3．学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想．

教学过程

一、情境导入

新农村建设中，张村计划在一个三角形中建一个最大面积的圆形花园，请你设计一个建筑方案．、

[来源:Z,xx,k.Com]

二、合作探究

探究点一：切线长定理

【类型一】利用切线长定理求三角形的周长

例1：如图，PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，︵切点C在AB上．若PA长为2，则△PEF的周长是________．

解析：因为PA、PB分别与⊙O相切于点A、B，所以PA＝PB，因为⊙O的切线EF分别交PA、PB于点E、F，切点为C，所以EA＝EC，CF＝BF，所以△PEF的周长PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝(PE＋EC)＋(CF＋PF)＝PA＋PB＝2＋2＝4.

【类型二】利用切线长定理求角的大小

例2：如图，PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，点C在⊙O上，如果∠ACB＝70°，那么∠OPA的度数是________度．

[来源:学&科&网Z&X&X&K]

解析：如图所示，连接OA、OB.∵PA、PB是⊙O的切线，切点分别为A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°.又∵∠AOB＝2∠ACB＝140°，∴∠APB＝360°－∠PAO－1∠AOB－∠OBP＝360°－90°－140°－90°＝40°.又易证△POA≌△POB，∴∠OPA＝∠APB2＝20°.故答案为20.

方法总结：由公共点引出的两条切线，可以运用切线长定理得到等腰三角形．另外根据全等的判定，可得到PO平分∠APB.

【类型三】切线长定理的实际应用

例3：

为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为30°的三角板和一把刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得PA＝5cm，则铁环的半径长是多少？说一说你是如何判断的．

解：过O作OQ⊥AB于Q，设铁环的圆心为O，连接OP、OA.∵AP、AQ为⊙O的切线，∴AO为∠PAQ的平分线，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，∴OP＝55(cm)，即铁环的半径为55cm.

探究点二：三角形的内切圆

【类型一】求三角形的内切圆的半径

例4：如图，⊙O是边长为2的等边△ABC的内切圆，则⊙O的半径为________．

[来源:Zxxk.Com][来源:学科网ZXXK][来源:学科网ZXXK]

解析：如图，连接OD.由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点．所以1∠OCD＝30°，OD⊥BC，所以CD＝BC，OC＝2OD.又由BC＝2，则CD＝1.在Rt△OCD中，根233.即⊙O的半径为.

33方法总结：等边三角形的内心为等边三角形中线，底边高，角平分线的交点，它到三边的距离相等．

【类型二】求三角形的周长

据勾股定理得OD＋CD＝OC，所以OD＋1＝(2OD)，所以OD＝222222︵例5：如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D、E，过劣弧DE(不包括端点D、E)上任一点P作⊙O的切线MN与AB、BC分别交于点M、N.若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(

) A．r B.r C．2r D.r 3252

解析：连接OD，OE，∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，∴OD⊥AB，OE⊥BC.又∵MD，MP都是⊙O的切线，且D、P是切点，∴MD＝MP，同理可得NP＝NE，∴CRt△MBN＝MB＋BN＋NM＝MB＋BN＋NP＋PM＝MB＋MD＋BN＋NE＝BD＋BE＝2r，故选C.

三、板书设计

教学反思：

教学过程中，强调用切线长定理可解决有关求角度、周长的问题．明确三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，到三边的距离相等.