小结设计意图

《统计案例》小结

教学设计

———桐城市天城中学数学组 张文明

一、考纲要求，明确目标

1.

会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系．

2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)．

3．了解回归的基本思想、方法及其简单应用．

4．了解独立性检验的思想、方法及其初步应用. 二、双基巩固

，正本清源

1．变量间的相关关系

2．两个变量的线性相关

(1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有____________，这条直线叫作________．

(2)回归方程为^y＝b^x＋^a，其中^b＝，

(3)通过求的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫作最小二乘法．

(4)相关系数：

当r＞0时，表明两个变量________；

当r＜0时，表明两个变量________．

r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间________________________．通常|r|大于________时，认为两个变量有很强的线性相关性．

3．独立性检验

假设有两个分类变量X和Y，它们的取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：

y1

y2

总计

x1

a b a＋b x2

c d c＋d 总计

a＋c b＋d a＋b＋c＋d 2n（ad－bc）2K＝（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）(其中n＝a＋b＋c＋d为样本容量)．

题组一

常识题

1．[教材改编] 已知具有线性相关关系的两个变量x，y之间的一组数据如

下：

x y 0 2.2 1 4.3 2 4.5 3 4.8 4 t ^＝0.95x＋2.6，则t＝________．

且回归方程是y2．[教材改编] 某医疗机构通过抽样调查(样本容量n＝1000)，利用2×2列联表和

K2统计量研究患肺病是否与吸烟有关．计算得K2＝4.453，经查对临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05，现给出下列四个结论，其中正确的是________．(填序号) ①在100个吸烟的人中约有95个人患肺病；

②若某人吸烟，则他有95%的可能性患肺病；

③有95%的把握认为“患肺病与吸烟有关”；

④只有5%的把握认为“患肺病与吸烟有关”．

题组二

常错题

◆

索引：易混淆相关关系与函数关系；误认为样本数据必在回归直线上；利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值．

3．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图10-66-1所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图知，人体脂肪含量与年龄________相关，且脂肪含量的中位数______20%.

图10-66-1 4．设某大学的女生体重y(单位：kg)与身高x(单位：cm)具有线性相关关系，^＝根据一组样本数据(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回归方程为y0.85x－85.71，则下列结论中不正确的是________．(填序号) ①

y与x具有正的线性相关关系；

－－②回归直线过样本点的中心(x，y)；

③若该大学某女生身高增加1 cm，则其体重约增加0.85 kg；

④若该大学某女生身高为170 cm，则可断定其体重必为58.79 kg. 题组三

常考题

5．[2016·梅州二模] 从某高中随机选取5名高三男生，其身高和体重的数据如下表所示：

身高x(cm) 160 165 170 175 180 体重y(kg) 63 66 70 72 74

^^根据上表可得回归直线方程y＝0.56x＋a，据此模型预报身高为172 cm的高三男生的体重约为________．

6．某疾病研究所想知道吸烟与患肺病是否有关，于是随机抽取1000名成年人调查其是否吸烟及是否患有肺病，得到2×2列联表，经计算得K2＝5.231.已知在假设吸烟与患肺病无关的前提条件下，P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则该研究所可以说明，有________以上的把握认为“吸烟与患肺病有关”．

三、考点探究，突破难点

探究点一

变量相关关系的判断

1 [2015·湖北卷] 已知变量x和y满足关系y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关．下列结论中正确的是(

) A．x与y负相关，x与z负相关

B．x与y正相关，x与z正相关

C．x与y正相关，x与z负相关

D．x与y负相关，x与z正相关

[总结反思] 相关关系的判断的两种方法：

(1)散点图法：如果所有的样本点都落在某一函数所表示的曲线附近，变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系；若点散布在从左下角到右上角的区域内，则正相关．

(2)相关系数法：利用相关系数判定，当|r|越趋近于1时相关性越强．

式题

对四组数据进行统计，获得如图10-66-2所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是(

)

图10-66-2 A．r2＜r4＜0＜r3＜r1

B．r4＜r2＜0＜r1＜r3

C．r4＜r2＜0＜r3＜r1

D．r2＜r4＜0＜r1＜r3

探究点二

回归方程的求法及回归分析

2

某位同学为了研究气温对饮料销售的影响，经过对某小卖部的统计，得到一个卖出某种饮料杯数与当天气温的对比表．他分别记录了3月21日至3月25日白天的平均气温(℃)与该小卖部这种饮料的销量(杯)，得到如下数据：

日期

3月21日

3月22日

3月23日

3月24日

3月25日

平均气温

8 10 14 11 12 x(℃)

销量y(杯) 21 25 35 26 28 (1)若先从这5组数据中任取2组，求取出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；

^＝b^x＋^(2)请根据所给的5组数据，求出y关于x的线性回归方程ya；

(3)根据(2)中所得的线性回归方程，若天气预报3月26日的白天平均气温为7℃，请预测该小卖部这种饮料的销量．

[总结反思] 线性回归方程的求解与应用问题，一般是根据最小二乘法求出线性回归方程，再根据所给变量求出预测值．

探究点三

独立性检验

3 [2016·郑州二模] 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度，现在某市进行调查，随机抽取了50人，他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表：

年龄

[5，15) [15，25) [25，35) [35，45) [45，55) [55，65) 频数

5 10 15 10 5 5 支持“生育二胎”4 5 12 8 2 1 人数

由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为以45岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异．

年龄不低于

年龄低于

总计

45岁的人数

45岁的人数

支持

不支持

总计

________________________________________________________________________ [总结反思] 独立性检验就是考察两个分类变量是否有关系，并能较为准确地给出这种判断的可信度，具体做法是根据公式K2＝n（ad－bc）2计算随机变量的观测值k，k值越大，说明（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）“两个变量有关系”的可能性越大．

式题

[2017·湖南师大附中模拟] 某研究性学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响，部分统计数据如下表：

不使用智能手

使用智能手机

总计

机

学习成绩优秀

4 8 12 学习成绩不优16 2 18 秀

总计

20 10 30

附表：

P(K2≥k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k0

2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 经计算K2＝10，则下列结论正确的是(

) A．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响

B．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响

C．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响

D．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响

四、感悟高考，真题演练

五、课堂小结，方法为旨。

1、考点：统计案例。

2、数学方法、数学思想等。

3、知识为根本，方法是关键，思想是精髓，思维是核心。

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