1.3 二项式定理（通用）优秀完整教案

《二项式定理》教学设计

穆棱市第一中学

孟维红

一、教学设计理念

二项式定理这部分内容比较枯燥，学生不易理解，如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心。根据我校“十一五”数学组科研课题《新课程背景下问题情境探究、体验教学模式研究》。在教学中，我坚持以学生发展为本的教学理念，以“自主学习、合作探究、体验感悟”为主体课堂教学模式。使学生亲自参与获取知识和技能的全过程，亲身体验知识的发生和发展过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生运用数学的意识和能力。 二、

教材分析

1、教材的地位、作用：

二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式。这一小节与很多内容都有着密切的联系，特别是它在本章的学习中起着乘上启下的作用。学习本小节的意义在于：①二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有其内在联系，本小节是学习概率知识及概率统计的准备知识；②二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可以得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识；③基于二项展开式与多项式乘法的联系，本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用；④二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。

教材的安排：教材中是通过

取一些特殊值（1，2，3，4）的基础上，观察归纳出二项式定理，强调要分析清楚式子展开并进行同类项合并后有哪些项及各项系数的一些规律，教材采用的是不完全归纳法，用说理的方法进行严谨的证明。教材随后安排了三道例题，是对二项式定理的简单应用。

2、教学目标：

知识与能力：

理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，能对二项式定理进行简单应用。

过程与方法：

通过教师指导下的探究活动，经历数学思维过程，理解“观察—归纳—猜想—证明”的思维方法，养成合作的意识，获得学习和成功的体验。

1

情感态度价值观：

通过对二项式定理内容的研究，体验特殊到一般发现规律，一般到特殊指导实践的认识事物过程；通过对二项展开式结构特点的观察，体验数学公式的对称美、和谐美。

3、教学重点、难点：

二项式定理及通项的运用，二项式定理的推导和理解

4、教材的处理思路：

二项式定理一节，分三个课时。这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、课时。

二

、教法、学法

新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程。没有途径，学生无法达到目的，因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程。也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程。变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力。从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果。

三、

教学过程

（一）动画演示，创设情境

动画演示一：

有2个容器，每个容器中都有红、蓝球各1个，每次从两个容器中各取一个球，有怎样的取法？每种取法有多少种选取方法？

动画演示二：

2

有3个容器，每个容器中都有红、蓝球各1个，每次从两个容器中各取一个球，有怎样的取法？每种取法有多少种选取方法？

动画演示三：

有4个容器，每个容器中都有红、蓝球各1个，每次从两个容器中各取一个球，有怎样的取法？每种取法有多少种选取方法？

【设计意图】 动画的演示及相应问题的探究，为本节课的学习做好铺垫。

（二）新知探究

定理的引入：

先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b）、（a+b）、（a+b）的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）的展开式容易吗？（a+b）、（a+b）呢？对于这个问题，我们如何解决？

【设计意图】：复习旧知识，提问设疑，逐步推进，引起学生对学习的注意，为学生学习新课内容作知识上、方法上、心理上的准备. 定理的探究：

引导学生对写出的（a+b）、（a+b）、（a+b）的展开式进行下列四个方面的探究：

①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律；④各项系数等。在此过程中提倡学生小组讨论，自由发表见解。在教学中发现，学生虽然注意到各展开式的结构特征，也很快能得出：①项数；②各项次数；③字母a、b指数的变化规律，但还缺乏丰富的联想意识，并且对各项系数的探究出现困难。于是进一步启发学生从多项式乘以多项式的过程中去发现思路，即研究a、ab……这些项的形成过程中去寻找解决问题的方法，学生才领悟到a是从（a+b）（a+b）（a+b）（a+b）四个括号中，每个括号都取a然后相乘而得到，即每个括号都不取b，最后学生根据刚学过的组合数的算法得到各项的系数。 【设计意图】：学生通过对三个展开式的自主探讨，亲历了知识的发生、发展、形成的过程，从而发现问题，提出问题，并在老师的引导下解决问题，进一步提高学生的归纳、推理、猜想能力的一种途径。

44323410100n234

3

定理的得出：

到此，学生大胆合理的猜想得到（a+b）n的展开式：

这就是二项式定理. 【设计意图】：学生在探究过程中通过观察、发现，类比从而是进行必要的归纳和合理的猜想得出结论，这是数学教学提创培养的，是一种创造性的思维活动，是掌握探求新知识的一种手段，也是进一步提高学生的归纳、推理、猜想能力的一种途径。

定理的结构特征：

学生通过对(a+b)2、（a+b）3、（a+b）4三个展开式探究，由学生归纳得出（a+b）n展开式有如下特性：

（1）共有n+1项；

（2）各项的次数都等于二项式的次数n；

（3）字母a的指数由n递减到0；同时字母b的指数由0递增到n；

02kn（4）各项的系数依次为cn 、c1n

、cn、……cn、……cn。

【设计意图】：二项式系数特征的分析着重于对定理的记忆和概念的理解。

（三）例题示范

例1：求(12x)的展开式

变式：

【设计意图】：例1是二项式定理简单顺向应用，目的在于熟悉二项式定理。变式体现知识的多样性。

3例2：求(x)的展开式中x的系数

71x9变式：

例3：求(2x变式：

【设计意图】：例2、例3是用二项展开式的通项公式求给定项。变式是让学生从多方面多角度去应用二项式的通项公式，求展开式中的特定项从而培养学生的创造性思维和发散性思维能力。

（四）课堂小结

16)的展开式

x

4

【设计意图】：对本节课所学内容进行小结，形成知识网络，有利于学生掌握知识，运用数学方法解决问题。

（五）布置作业

【设计意图】：把课堂的教学延伸到课外，有利于学生巩固所学。

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