2.2.2 反证法优质课教案推荐

《反证法》教学设计

一、设计指导思想

在讲授式的教学中，课堂实施过于注重知识的机械传授，忽略了学生学习的主体性，也抑制了学生综合能力的提高和综合素质的发展。当代学生观重视学生的自主发展，认为教育就应看到学生的未完成性，给学生创造发展的环境和机会。

基于数学学科自身抽象和严谨的特点，教师在数学教学活动中就要引导学生自主发现问题，解决问题，培养学生的动手、动脑能力。

二、教材分析

1.教学内容：本节是人教A版数学选修2—2第二章“推理与证明”第二节“直接证明与间接证明”第二课时的内容，是反证法部分。

2．地位与作用：“推理与证明”是数学的基本思维过程，贯穿于整个高中数学，是学好数学的一个重要基石。也是我们把数学学以致用的一种体现，为人们学习和生活提供一种思维方式。这一部分的学习是新课标教材的一个亮点，是对以前所学知识与方法的总结、归纳，并对后继学习起到引领的作用。

证明一般包括直接证明与间接证明。“直接证明”是一种正向思维方式；“间接证明”的一种基本方法是反证法，但是反证法的应用需要逆向思维，这是学生学习的一个难点。所以，本课的关键是让学生在动脑思考、动手证明的过程中体会反证法的思维过程，建立应用反证法的感觉。

三、学情分析

1、学生已掌握的理论知识：学生在学习补集、概率等知识时已经具备了一定的从反面解题的思想，对于反证法的逆向思维能够理解，另外前面命题的否定学习也为这一节知识学习提供帮助，降低了一点学习难度。但是用反证法证明数学问题却是学生学习的一个难点。

2、任教班级情况：所教学生是理科普通班，数学思维一般，对于反证法证明简单命题问题不大。但是从本质上去认识反证法，还有能够灵活运用反证法去证明还是困难重重。

四、教学目标

知识与能力：通过实例，培养学生用反证法证明简单问题的推理技能，进一步培养学生观察、分析、逻辑思维以及解决问题的能力。

过程与方法：了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题。

情感、态度、价值观：

在观察、操作、推理等探索过程中，体验数学活动充满探索性和创造性；培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点：理解反证法证明命题的思路方法及反证法证题的步骤。

难点：理解“反证法”证明得出“矛盾”即找矛盾依据。

重难点突破策略：本课在设计上采用了从部分到整体、从简单到复杂的教学策略。层层深入、引人入胜。通过学生自主探究和教师的点拨引导、师生互动、讲练结合，突出重点、突破难点。

六、教学方法

本节采用启发和探究相结合的教学方法，在教学中，设计启发性问题，引导学生探究，在通过讲练相结合，使学生逐步把握反证法的证明步骤。学生处在一个积极探究的状态，收获知识。

七、教学过程

一、准备环节

1、复习回顾：复习直接证明，得出间接证明，引出反证法。

2、情景创设：

A、B、C三个人，A说B撒谎，B说C撒谎，C说A、B都撒谎.则C必定是在撒谎，为什么？

【设计意图】通过对这个问题的解答，使学生自主探究反证法的概念及反证法证明的步骤.导入新课。此环节旨在提升学生的求知欲、探索欲，使学生保持良好、积极的情感体验。

二、学习探究环节

通过对这两个问题的解答、学生的自主探究和教师的适当引导得出知识：

（1）定义：反证法：一般地，假设原命题不成立，（即在原命题的条件下，结论不成立），经过正确的推理,最后得出矛盾，因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法。

（2）反证法证题的基本步骤：

1．假设原命题的结论不成立；（假设）

2．从这个假设出发，经过正确的推理，推出矛盾；（归缪）

3．因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.（结论）

三、例题讲解环节

例1、

写出用“反证法”证明下列命题的第一步“假设”. 【设计意图】能否正确地写出假设，是解决问题的基础和保障

(1)互补的两个角不能都大于90°. (2)△ABC中,最多有一个钝角

(3)a,b,c中至少有一个是正数

例2、

已知直线a,b和平面，如果a,b,且a//b,求证：a//

【设计意图】本例是位于必修2第55页线面平行的判定定理的证明，要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰，于是考虑采用反证法证明本例。

例3、

求证：2是无理数

【设计意图】本例是一个典型的使用反证法证明的问题，对这种显然成立的结论证明无从下手。对学生理解很有难度，用反证法得出矛盾的方向也很不明确，教学中要逐步引导到位。

例4、已知x,y0,且xy2。求证：1x1y中至少有一个小于2. ,yx【设计意图】结论中含“至少”，如果从正面证明，需要分成三种情形进行分类讨论，而从反面证明，只要研究一种情形，故采用反证法.

证明：假设1x1y1x1y2

与都不小于2，则2且xxyy1x2y且1y2x

所以1x1y2y2x即xy2与xy2相矛盾

所以假设不成立，原命题成立

即1x1y2至少有一个成立.

2和xy四、巩固训练环节

1.

求证：2,3,5不可能成等差数列．

【设计意图】结论中含否定词语，故考虑采用反证法.)

2.

ABC的三边a,b,c的倒数成等差数列，求证B.2【设计意图】本题利用余弦定理直接证明可以，利用反正也可，对比两种证明方法，反正更简单。

五、归纳小结环节

根据以上问题让学生归纳反证法证明的常见四类问题和应用反证法的关键。让学生自主构建新的知识体系。

六、布置作业

1．否定下列命题的结论：

（1）

在⊿ABC中如果AB=AC，那么∠B=∠C。 。

（2）

如果点P在⊙O外，则d>r（d为P到O的距离，r为半径）

（3）

在⊿ABC中，至少有两个角是锐角。 （4）

在⊿ABC中，至多有只有一个直角。 2．选择题：

证明“在⊿ABC中至多有一个直角或钝角”，第一步应假设：（ ）

A．三角形中至少有一个直角或钝角

B．三角形中至少有两个直角或钝角

C．三角形中没有直角或钝角

D 。三角形中三个角都是直角或钝角

3．用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60°”•应先假设这个三角形中（ ）

A．有一个内角小于60° B．每一个内角都小于60°

C．有一个内角大于60° D．每一个内角都大于60°

4.课本91页A组1（存在唯一性问题）、4 七、板书设计

反证法

1、反证法定义：

2、反证法的步骤：

3.小结

例1

例2

例3

例4

（辅助性板书）

九、教学反思：

1、本课就新课程理念下定理教学课的课堂模式，做了一些探索。以问题解决为中心，通过提出问题，完善问题，解决问题，拓展问题，重点放在反证法的思想上，努力挖掘教学中蕴涵的思维价值，培养学生的逆向思维能力。改变了传统的解决问题模式

2、“用教材教，而不是教教材”，针对学生特点，将教材的例题和习题重组，尽量满足不同思维层次学生的需求。