引言教学设计方案

将军饮马问题的应用与拓展

重庆七中

许光英

教材分析：新人教版高中数学《选修4-5不等式选讲》的引言中提到：“许多重要的不等式有深刻的数学意义和背景，本专题中给出的不等式大都有明确的几何背景，把握这些几何背景，对于我们理解这些不等式的实质是非常重要的.因此，在学习过程中，同学们应当注意理解这些不等式的背景（特别是几何背景）及其蕴涵的数学思想，尽可能借助几何直观来证明这些基本而重要的不等式，从中领悟数形结合等重要数学思想在研究不等式中的作用.”

这指出了，在学习《不等式选讲》中要让学生能理解不等式所涉及到的一些几何背景，并且会用几何直观来证明或求解不等式.由此我想到了初中学过的“将军饮马问题”所涉及的距离问题以及所用到的数形结合、转化和化归等数学思想方法，是一个很好的典例.

教学目标：

1.理解将军饮马问题的实质及几何意义；

2.理解将军饮马问题在圆锥曲线中的应用；

3.领悟数形结合、分类讨论、转化与化归等重要数学思想在研究圆锥曲线中的作用。

重点：将军饮马问题的应用与拓展。

难点：将军饮马问题在圆锥曲线中的应用。

教学过程：

一、饮马问题背景（走进数学故事）：

【设计意图】：从熟悉的诗歌、数学典故中挖掘出有价值的数学问题，让学生体会数学是来源于生活、应用于生活.要用数学的眼光观察现实世界. 唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河。”诗中隐含着一个有趣的数学问题。

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短？

1

BA河流

（师生共作）解决方法：（幻灯片演示过程）

如图所示，从A出发向河岸引垂线，垂足为D，在AD的延长线上取A关于河岸的对称点A，连结AB，与河岸线相交于C，则C点就是饮马的地方，将军只要从A出发，沿直线走到C，饮马之后，再由C沿直线走到B，走的路程就是最短的．

（追问：为什么？）

如果将军在河边的另外任一点C饮马，所走的路程就是ACCB，但是，ACCBACCBABACCBACCB可见，在C点外任何一点C饮马，所走的路程都要远一些。

（需要强调说明的几点：）

（1）由作法可知，河流l相当于线段AA中垂线，所以ADAD。

（2）由上一条知：将军走的路程就是AC+BC，就等于ACCB，三点共线，所以C点为最优解。

DCA'

（师介绍：）这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦。一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？

从此，这个被称为“将军饮马”的问题广为流传。

（师问：）

“将军饮马”问题中“利用轴对称变换化折为直”的思想方法，将该问题转化为“两点间线段最短”，也即是“三角形两边之和大于第三边”的问题。

下面进一步探讨“将军饮马”问题的本质。

2 C'

二、饮马问题本质（探索数学本质）：

【设计意图】：让学生把握数学知识的本质，能建立数学模型，会用数学的思维思考现实世界. 探究一（师生共作）：已知A、B在直线L同侧（或异侧），在直线L上求一点P，使得|PA|+|PB|最小。如图所示：（幻灯片演示过程）

BAL同侧ALPA'PB异侧

A、B在直线L同侧时，点P为线段AB与直线L的交点；

A、B在直线L异侧时，点P为线段AB与直线L的交点。

（师点评：）1.“饮马问题”可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问题的数学模型；利用轴对称思想，把同侧类型转化为异侧类型，构造在两定点之间。

2.从位置关系看：动点P不仅要在直线L上；还与两个定点共线；且在两定点之间。

这也是“两点之间线段最短”的体现。

探究二（小组合作探讨）：已知A、B在直线L同侧（或异侧），求在直线L上是否存在点P，使得|PA||PB|有最大值。如图所示：（小组展示）

BALALB同侧

异侧

问题1：如何找出满足条件的点P？

问题2：

此时|PA||PB|的最大值是多少？

3

B'BAAP同侧LP异侧BL

A、B在直线L同侧时，点P为线段BA的延长线与直线L的交点；

A、B在直线L异侧时，点P为线段BA的延长线与直线L的交点。

（师点评：）1.“饮马问题”可拓展为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之差的最值”问题；利用轴对称思想，把异侧类型转化为同侧类型，构造在两定点的延长线上。

2.从位置关系看：点P不仅在直线L上，还在两定点连线段的延长线上，当然也是三点共线了。

三、饮马问题应用（拓展应用数学模型）：

【设计意图】：让学生在思考和交流中掌握知识技能的同时，进一步理解知识的本质，能用数学的语言表达现实世界. 把“饮马问题”中的“定直线”

改成“定圆锥曲线”又如何？即“求定圆锥曲线上一动点P与圆锥曲线外两点的距离之和的最值”。（特别地，其中一定点为焦点F）

如图所示1：

（学生回答）（幻灯片展示）

在如下圆锥曲线上，是否存在点P，使得|PA||PF|有最值？

AAFF

4

APF

如图所示2：

（小组合作探讨）

APF

（师点评：）应用“两点之间线段最短”，满足条件的动点即与两定点共线，并在两定点之间。

AAF

F

PAPF1F

MPFA

（师点评）：1.若建立目标函数直接求|PA|+|PF|的最值是困难的，这里利用圆锥曲线的定义，结合图形则问题就解决了．

2.利用“将军饮马”问题模型中涉及到的数学方法，尽量把动点转化到两定点之间。

3.可通过转化与化归思想，转化到另一个焦点（或准线）上进行。

四、回顾延伸

1.这节课的学习带给我们哪些思考与收获？

（饮马问题可归结为“求定直线上一动点与直线外两点的距离之和的最小值”问题的数学模型；利用轴对称思想，将该问题转化为“两点间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题；利用“对称的思想”，结合几何图形研究圆锥曲线问题等）

2.

“将军饮马”问题在空间几何中的应用与拓展：

5

（1）一个有趣的问题是：一只蚂蚁在棱长为1的正方体ABCDA1BC11D1的顶点A 处，一粒食物在与蚂蚁相对的顶点C1处，蚂蚁想要沿着正方体的表面爬到C1处得到食物，蚂蚁究竟沿怎样的路线爬过去，所经过的路程才最短？

D1A1DABB1D1A1DB1C1E1CEC1PCAB

D1A1DAB1PC1CB

（2）棱长为1的正方体ABCDA1BC11D1中，M是A1B1的中点，动点P在平面BB1D1D内运动，求PA+PM的最小值。

D1A1DABMPB1C1A1DAD1MPEB1C1CCB

3.

“将军饮马”问题在一维直线上的应用与拓展：

当A、B都在直线L时，在直线L上求一点P，使得|PA|+|PB|最小。

今天我们共同经历了“饮马问题”拓展的探索旅程，相信你会有所感触，请你延续这种学习方法和探索方式，你会发现数学其实挺好玩，你更会发现数学很有趣，数学也挺美。

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