1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用特级教师教学实录

独立性检验的基本思想

东莞市第五高级中学 余升豪

一、内容与内容解析

1.内容

（1）分类变量的定义；

（2）两个分类变量的列联表；

（3）等高条形图；

（4）独立性检验的基本思想及其实施步骤. 2. 内容解析

本节内容理论比较复杂，教学时间也不长(1-2课时)，但由于它贴近实际生活，在整个高中数学中，地位不可小视.在近几年各省新课标高考试题中，本节内容屡屡出现，而且多以解答题的形式呈现，其重要性可见一斑. 该内容是前面学生在《数学3》(必修)中的统计知识的进一步应用，还涉及到与初中数学中讲到的“反证法”类似的思想.

“独立性检验”是在考察两个分类变量之间是否具有相关性的背景下提出的，因此教材上首先提到了分类变量的概念，并给出了考察两个分类变量之间是否相关的一种直观的思路，即借助列联表、等高条形图的方法，随后引出相对更精确的解决办法（独立性检验）。独立性检验的思想，建立在统计思想、假设检验思想(小概率事件在一次试验中几乎不可能发生)等基础之上，通常按照如下步骤对数据进行处理：明确问题→确定犯错误概率的上界及K2的临界值k0→收集数据→整理数据→制列联表→计算统计量K2的观测值k→比较观测值k与临界值k0并给出结论. 本节的重点内容是通过实例让学生体会独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的一般步骤. 二、目标和目标解析

1.目标

（1）理解分类变量的含义；

（2）了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想及实施步骤；

（3）培养利用多种方法解决问题的学习精神；

（4）体会统计学的广泛性和科学的严谨性. 2.目标解析

通过对典型案例（（吸烟和患肺癌有关吗?）的探究，让学生利用列联表、等高条形图初步判断两个分类变量的相关性，并进一步了解独立性检验（只要求2×2列联表）的基本思想及其实施步骤，从中体验用多种方法(列联表、等高条形图和独立性检验)解决同一问题；通过本问题的解决，还能让学生体会统计学的广泛性和科学的严谨性. 三、教学问题诊断分析

由于面对的学生群体为面上中学学生，学生数学基础相对薄弱，对数学概念的理解往往感到比较吃力。结合实际情况，在本节新学内容时，有以下几点是初学者不易理解或掌握的：

1.为什么在直观判断“吸烟和患肺癌是否有关”后，还要进行统计分析（独立性检验）？

教科书通过探究“吸烟是否与患肺癌有关系”引出了独立性检验的问题，并借助样本数据的列联表、等高条形图展示在吸烟人中患肺癌的比例比不吸烟人中患肺癌的比例要高，使学生直观感觉到吸烟和患肺癌可能有关系。“吸烟与患肺癌有关”这一直觉来自于观测数据，即样本。问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体？来自于样本的结论“吸

烟与患肺癌有关”能够推广到总体吗？为了回答这个问题，就必须借助于统计理论来分析. 2. K2的出现，会给学生带来很多疑问。

对于K2的构造，可以结合列联表中的“比例”关系，具体分析如下：

“吸烟与患肺癌没有关系”

则有：ac，即adbc。因此，adbc越小，说abcd明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。 结合统计学知识，为了使不同样本容量的数据有统一的评判标准，基于上述分析，我们构造一个随机变量

n(adbc)2

K(ab)(cd)(ac)(bd)2(需要特别说明的是，由于面对的学生群体数学基础比较薄弱，K2的说明可以结合实际情况简单提及即可.) 3. 如何理解独立性检验的基本思想？

由于学生在前面已经学习过“反证法”，为了更好的进行教学，教学中应走在学生思维的最近发展区，可以通过与“反证法”的对比，完成下表：

反证法

独立性检验

要检验的是H1

要证明的结论A

在A不成立的前提在H1不成立的条件下，即H0成立下进行推理

的条件下进行推理

推出有利于H1成立的小概率事件

推出矛盾，意味着

结论A成立

发生，意味着H1成立的可能性很大

没有找到矛盾，不推出有利于H1成立的小概率事件

能对A下任何结

论，即反证法不成不发生，接受原假设H0

功

从上面的对比中，可以看出独立性检验的思想方法和反证法类似，不同之处有两个：其一是在独立性检验中用有利于H1的小概率事件的发生代替了反证法中的矛盾；其二是独立性检验中的接受原假设H0的结论相当于反证法中没有找到矛盾。

4.如何理解“犯错误的概率”？

“犯错误的概率”的出现，原因就在于独立性检验的过程中存在一个小小的漏洞，就是假设“在一次实验中，小概率事件不发生”，而事实上，小概率事件是可能发生的，而正是因为这一点点漏洞，导致独立性检验的结果可能是错误的，但是犯错误的概率不会太大，我们就把犯错误的最大概率等同于小概率事件发生的概率了。至于小概率事件所对应的临界值，则属于大学的研究范畴，在此不必做过多解释.

四．教学支持条件分析

1.恰当使用信息技术，让学生直观形象地理解问题，了解知识的形成过程. 2.借助学案，采取“练在讲课前，讲在关键处”的教学模式，学生在教师的指导下，在课前完成相应的作业，老师在课堂上对关键内容作讲评. 3.在适当的教学环节中安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程. 4.注意学生的个体差异。设计不同难度的题目, 将尽可能照顾到课堂学生的个体差异.

五.教学过程设计

结合本校学生的实际情况,本节内容采用“练在讲课前，讲在关键处”的教学模式,在课堂中以“问题串”方式引导学生，达到“跳一跳摘果子”的效果. 教学环节

教学内容

设计意图

学生自主探究

练在讲课前，让

（本部分内容主要以学案形式体现）

课堂效率更高

阅读教材第10页至第13页例1前内容，完成以下练习：

1.找出以下一些常用定义

通过自主的阅

1）分类变量： . 读教材，让学生2）22列联表：

初步了解本节2.探究任务：吸烟与患肺癌的关系

内容所涉及的

概念

学生群体计算

能力、分析能力学

都相对薄弱，以

“问题串”形式1）由列联表可粗略的看出：

生

引导学生进行(1)不吸烟者有 患肺癌;

自主探究，更能(2)不吸烟者有 患肺癌. 先

提高课堂效率

因此，直观上的结论：吸烟与患肺癌____关系

2）根据列联表的数据,作出等高条形图: 学

学生自主完成

等高条形图和

列联表，并完成

题中问题，循序

渐进，进一步引由上图可以直观地看出,

吸烟与患肺癌___关系

导学生分析“吸3. 吸烟与患肺癌列联表的进一步分析

烟与患肺癌的吸烟与患肺癌列联表（完成表格空白处）

关系”

不患肺癌

患癌

总计

不吸烟

a b

吸烟

c d

总计

假设H0：吸烟与患肺癌没关系，

知

识

提

炼

则在吸烟者和不吸烟者中患肺癌不患肺癌者的相应比例 .即______________

4.反证法原理

一般地，假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出 ，因此说明假设 ，从而证明了原命题 .

一、概念精讲

（结合学生学案，以板书、课件形式展现，老师并作点评）

1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量

2.列联表：两个分类变量的频数表，称为列联表

3.等高条形图（多媒体呈现）

二、合作探究，收获新知

1.思考：通过分析数据和图形，我们得到的直观印象是“吸烟和患肺癌有关”。

但这种判断是否可靠呢？

老师做适当引导解释：“吸烟与患肺癌有关”这一直觉来自于观测数据，即样本。问题是这种来自于样本的印象能够在多大程度上代表总体？来自于样本的结论“吸烟与患肺癌有关”能够推广到总体吗？

2.吸烟与患肺癌列联表的进一步分析

（结合学案中的练习完成）

不患肺癌

患肺癌

总计

不吸烟

a b a+b 吸烟

c d c+d 总计

a+c b+d a+b+c+d 假设H0：吸烟与患肺癌没关系，

则在吸烟者和不吸烟者中患肺癌不患肺癌者的相应比例差不多，即

ac，

abcd

因此，adbc越小，说明吸烟与患肺癌之间关系越弱；adbc越大，说明吸烟与患肺癌之间关系越强。

a(cd)c(ab),adbc0

反证法原理的复习，有利于本节课独立性检验原理的教学

对学生自主探究的内容做适当的总结，并板书出来，提高课堂效率

本思考的提出，引起学生对新知的学习兴趣

适当的“问题串”，让学生初步感觉现有知识的不足，从而自然的引出新知学习的必要性

以教师为主导，遵从学生认识规律进行启发；以学生为主体，合作探究式进行学习，让学生体会到利用数学知识解决实际问题的实用性

知

识

提

炼

3.介绍统计量K 构造一个随机变量

2

统计量K2的出2现，是因为统计nadbcK2

（1） 学中要求不同abcdacbd样本容量的数（其中nabcd为样本容量。）

据要有统一标准，在此跟学生若H0成立，即“吸烟与患肺癌没有关系”，则K2应该很小。

道明即可.

根据表1中的数据，利用公式（1）计算得到K2的观测值

为

9965(777549422099)2

k56.632

78172148987491

统计学家经过研究后发现，在H0成立的情况下，

P(K26.635)0.010 （2）

4.学生活动：学生自由讨论，并回答以下问题

讨论式教学，运用群体的力量问题1：如何理解在H0成立的情况下，（2）式的含义呢？

和团队精神解决问题，通过给K2的观测值大于6.635的概率非常小，答：在H0成立的情况下，学生思考、探索近似于0.010，是一个小概率事件. 的空间，培养学

生的合作学习观

问题2：结合（2）式，以及K2的观测值k56.632，由这两个

式子你能得到什么样的结论呢？

答：K2的观测值k56.632，远远大于6.635，所以有理由断定

即认为“吸烟与患肺癌有关系”.这种判断会犯错误，H0不成立，

但犯错误的概率不会超过0.010，即我们有99%的把握认为“吸

烟与患肺癌有关系”。

5.新知提炼

生成概念，让学生初步体会独1）独立性检验：上面这种利用随机变量K2来确定是否能以一立性检验的基定把握认为“两个分类变量有关系”的方法，称为两个分类变本思想

量的独立性检验。

知

识

提

炼

2）独立性检验思想

（由学生分组讨论，结合学案中的反证法原理完成）

上述解决问题过程的想法类似与反证法原理，结合反证法原理进行类比，可以总结出下表：

反证法

独立性检验

要证明的结论要检验的是H1

A

在A不成立的前在H1不成立的条件下，即H0成立的提下进行推理

条件下进行推理

推出矛盾，意味推出有利于H1成立的小概率事件发A着结论成立

生，意味着H1成立的可能性很大

没有找到矛盾，推出有利于H1成立的小概率事件不不能对A下任何结论，即反证发生，接受原假设H0

法不成功

3）独立性检验思想的再说明

（1）怎样判断K2的观测值k是大还是小呢？这仅需确定一个正数k0，如果kk0时，就认为“两个分类变量之间有关系”；否则就认为“两个分类变量之间没有关系”. 我们称这样的k0为一个判断规则的临界值。

在实际应用中，要在获取样本数据之前通过下表确定临界值

p(k≥k0) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10

k0

0.455 0.708 1.323 2.072 2.706

p(k≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001

k0

3.841 5.024 6.636 7.879 10.828

（2）独立性检验中“犯错误的概率”的出现，原因就在于独立性检验的过程中存在一个小小的漏洞，就是假设“在一次实验中，小概率事件不发生”，而事实上，小概率事件是可能发生的，而正是因为这一点点漏洞，导致独立性检验的结果可能是错误的.但是犯错误的概率不会太大，我们就把犯错误的最大概率等同于小概率事件发生的概率了.

学生活动：分组进行讨论，而后让学生总结二者的联系和区别.

用类比的方法，帮助学生进一步理解独立性检验的思想，培养学生用联系的观点看问题

对新知的再说明，加强学生学习的严谨性意识

知

识

提

炼

知

识

应

用

4）独立性检验的基本步骤：

（由老师引导学生回忆上述探究过程归纳总结得到结论）

①

根据实际问题需要的可信程度确定临界值k0； ②

利用公式（1），计算随机变量K2的观测值k; ③

如果kk0，就以(1P(K2k0))100%的把握认为“X与Y有关系”；否则就说没有(1P(K2k0))100%的把握认为

“X与Y有关系”

1.某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众.调查中发现20至40岁的观众共55人，其中收看文艺节目的有40人；大于40 岁的观众中收看文艺节目的有15人. 结合题中数据完成以下列联表，并由表中数据直观分析，收看新闻节目的观众是否与年龄有关?

文艺节目

新闻节目

总计

20至40岁

大于40岁

总计

2.在一项打鼾与患心脏病的调查中，共调查了1671人，经过计

过归纳总结，进一步加深学生对独立性检验思想的理解

小

结

本题为2010广东高考文科数学改编题，主要考查列联表及直观分析能力.

本题主要考查独立性检验及2算K=27.63，根据这一数据分析，我们有理由认为打鼾与患心其临界值表的初步应用

脏病是_______的.（选填“有关”或“无关”）

通过知识应用，巩固本节课所学内容，提升学生利用新知解决问题的能力

1.

独立性检验原理

学生进行思考

后总结，教师进

行概括。让本节2.

独立性检验的基本步骤

课所学的知识在学生的感悟中得以升华。

六.目标检测设计

1.给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪率是否有关系.其中用独立性检验可以解决的问题有_________________ 设计意图：考查学生对分类变量、独立性检验适用范围的理解

不健康

健

康

总计

222. 右表是一个列联表，则表中a,b的之分不优秀

a 21 73 优

秀

2 25 27 别是（ ）

b 46 100 A. 94,96 B. 52,50 C. 52,54 D. 54,52 总

计

设计意图：对列联表的考查

3. 在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中，下列说法正确的是

（ ）

A. 若k=6.635,则有99%的把握认为吸烟与患肺病有关，那么100名吸烟者中，有99个患肺病. B. 从独立性检验可知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关时,可以说某人吸烟,那么他有99%的可能性患肺病. C. 若从统计量中求出有95%的把握认为吸烟与患肺病有关，是指有5%的可能性使推断出现错误. D. 以上三种说法都不对. 设计意图：深化对独立性检验的理解

4.为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：

性别

男

女

是否需要志愿者

需要

40 30

不需要

160 270 （1）

估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例；

（2）

能否有99％的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？

附：

P（k2k0)

k0

0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 n(adbc)2

K(ab)(cd)(ac)(bd)2

设计意图：本题为2010全国卷文数试题.主要考查列联表、独立性检验的应用