1.1.6 棱柱、棱锥、棱台和球的表面积教学设计内容推荐

《棱柱、棱锥、棱台和球的表面积》教案

教学目标

1、通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握柱、锥、台的表面积的求法。

2、了解棱柱、棱锥、棱台的表面积计算公式；能运用柱锥台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题。

3、培养学生空间想象能力和思维能力。

教学重难点

教学重点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的推导方法，进一步加强空间与平面问题互相转化的思想方法的应用。

教学难点：棱柱、棱锥、棱台的表面积公式的应用。

教学过程

一、导入

中国古代数学思想十分先进，庄子的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”是现代数学中极限思想的根源；刘徽的《割圆术》“割之又割，以至不可割”，最终方变成了圆，这种思想也体现了中国古人对极限的认识。利用刘徽的割圆术，我们可以把球的表面积求出来。

二、研习要点

（1）直棱柱的表面积

1．直棱柱的侧面积等于它的底面周长c和高h的乘积，即S直棱柱侧=c*h。

如图，是直六棱柱的侧面展开图，直六棱柱的侧面展开图是一些全等的矩形，只要把这些矩形的面积加起来就可以得到直棱柱的侧面积. 设棱柱的高为h，底面周长为c，则得到的直棱柱的侧面积计算公式为S直棱柱侧=ch。

2. 直棱柱的表面积就等于侧面积与上、下底面面积的和。

【联想·发散】斜棱柱表面积的求法：

1. 由于直棱柱的侧面展开图是矩形，由矩形的面积公式可以得出直棱柱的侧面积的计算公式。

2. 斜棱柱的侧面积可以先求出每个侧面的面积，然后求和，也可以用直截面与侧棱长的乘积来求. 其中直截面就是和棱垂直的截面。

如果斜棱柱的侧棱长为l，直截面的面积为S’，则其侧面积的计算公式就是S侧=S’·l。

（2）正棱锥的表面积

1. 正棱锥的侧面积等于它的底面周长和斜高乘积的一半，即S正

棱锥侧=1na·h’。

其中a为底面正多边形的边长，底面周长为c，斜高为h’，如图，以正四2棱锥为例简单推导计算公式。由于正四棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，底面是正多边形，若设它的底面边长为a，底面周长为4a，斜高为h’，容易得到正四棱锥的侧面积计算公式为S正四棱锥侧=11·4a·h’=ch’，

221c·h’。

2对于正n棱锥，其侧面积计算公式为S正棱锥侧=2．正棱锥的表面积等于正棱锥的侧面积与底面积之和。

【联想·发散】一般棱锥表面积的求法：

1．正棱锥的侧面展开图是一些全等的等腰三角形，这些等腰三角形的面积和即为它的侧面积。

2．一般棱锥的每个侧面都是三角形，因此设法求出它们各自的面积，然后相加即可得到它的侧面积，再与底面积求和，即可得到它的全面积。

（3）正棱台的表面积

1．正棱台的侧面积是S=长为c，斜高为h’。

2．正棱台可以看作是用平行正棱锥底面的平面截得的，因此正棱台的侧面展开图是一些等腰梯形，腰重合所得的一个平面图形（如图），

设正棱台上、下底面周长为c’，c，斜高为h’，可得正棱台的侧面积

S正棱台侧=1(c+c’)·h’，其中上底面的周长为c’，下底面的周21(c+c’)·h’。

23．正棱台的表面积等于它的侧面积与底面积之和。

【联想·发散】一般棱台表面积的求法：

1．正棱台的侧面展开图是全等的等腰梯形，底面是正多边形，则正棱台的表面积就是这几个等腰梯形的面积与底面积之和。

2．同样地，对于一般棱台的侧面积可分别求出每个侧面的面积后相加，再求出其底面积，然后求和，就会得到它的表面积（有时也称全面积）。

（4）球的表面积

球面面积（也就是球的表面积）等于它的大圆面积的4倍，即S球=4πR2，其中R为球的半径。

【联想·发散】圆柱、圆锥、圆台的表面积公式：

1. 圆柱、圆锥、圆台的侧面积:

①将圆柱沿一条母线剪开后，展开图是一个矩形，这个矩形的一边为母线，另一边为圆柱底面圆的圆周长，设圆柱底面半径为r，母线长为l，则侧面积S圆柱侧=2πrl。

②将圆锥沿一条母线剪开，展开在一个平面上，其展开图是一个扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧是圆锥底面圆的圆周，因此该扇形的圆心角θ=2r，r为圆锥底面半径，l为圆锥的母线长，根据扇形面积公式可得：l1·2πr·l=πrl，其中l为圆锥母线长，r为底面圆半径。

21(c1+c2)l，其中r，R分2S圆锥侧=③圆台可以看成是用一个平行底面的平面截圆锥所得，因此圆台的侧面展开图是一个扇环，设圆台上、下底半径为r、R，母线长为l，则。S圆台=π(r+R)l=别为上、下底面圆半径，c1，c2分别为上、下底面圆周长，l为圆台的母线。

2．圆柱、圆锥、圆台的表面积就是侧面积与底面积的和。

三、知识点梳理

1、直棱柱和正棱锥的表面积

直棱柱的侧面积公式S=____________，其中c为底面多边形的周长，h为棱柱的高

用语言可叙述为________________ ；

正棱锥的侧面积公式S=_______

=__________

，其中底面边长为a，c为底面多边形的周长，h、为棱锥的斜高。

用语言可叙述为____________________________________；

结论：棱柱、棱锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。

2、正棱台的表面积

设棱台下底面边长为a、周长为c，上地面边长为a、、周长为c、，斜高为h、，可以得出正棱台的侧面积公式：________________ =___________________; 结论：棱台的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。

3、圆柱、圆锥的表积

圆柱的侧面积公式S= _____________________ 圆锥的侧面积公式S=______________________ 结论：圆柱、圆锥的表面积或全面积等于侧面积与底面积的和。

4、球的表面积：

设球的半径为R，那么它的表面积为S球

___________ ，是以R为自变量的函数。

四、例题解析

题型一

求几何体的表面积

例1、

已知正四棱锥底面正方形的边长为4cm，高与斜高的夹角为45。（如图），求正四棱锥的侧面积及全面积。

例2、如图所示是一个容器的盖子，它是用一个正四棱台和一个球焊接而成的，球的半径为R.正四棱台的两底面边长分别为3R和2.5R，斜高为0.6R：

求这个容器盖子的表面积（用R表示，焊接处对面积的影响忽略不计）；

若R=2cm，为盖子涂色时所用的涂料每0.4kg可以涂1m２，计算为100个这样的盖子涂色约需涂料多少千克（精确到0.1kg）

练习：课本28页AB组

题型二

球面积的计算问题

例4、一个球内有相距9cm的两个平行截面，面积分别为49cm２和400cm２，试问球的表面积。

变式训练：已知球的内接正方体体积为V，求球的表面积。

五、课后作业

1、一个正三棱台的上、

下底面的边长分别为3cm和6cm,高为3cm,求三棱台的侧面2积。（

93）

22、如图所示，圆柱OO'的底面半径为2cm，高为4cm，点Ｐ为Ｂ'Ｂ的中点，

∠ＡＯＢ＝１２０°，试问一蚂蚁从Ａ点沿圆柱表面爬到Ｐ点的最小路程。

（2942）

3Ａ＇

Ｏ＇

Ｂ＇

．ｐ

Ａ

Ｏ

Ｂ