1.3 二项式定理（通用）教学目标

一、复习引入：

⑴⑵02122(ab)2a22abb2C2aC2abC2b；

0312233(ab)3a33a2b3ab2b3C3aC3abC3ab2C3b

⑶(ab)4(ab)(ab)(ab)(ab)的各项都是4次式，

a4，a3b，a2b2，ab3，b4，

004b的情况有1种，即C4种，a的系数是C4；恰有1即展开式应有下面形式的各项：展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取个取个取∴1122322b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有2个取b的情况有C4种，ab的系数是C4，恰有3334434b的情况有C4种，ab的系数是C4，有4都取b的情况有C4种，b的系数是C4，

04132223344(ab)4C4aC4abC4abC4abC4b．

二、讲解新课：

二项式定理：n0n1n(ab)nCnaCnabrnrrCnabnnCnb(nN)

⑴(ab)的展开式的各项都是n次式，即展开式应有下面形式的各项：

，…，an，anb，…，anrbr⑵展开式各项的系数： 每个都不取恰有1个取恰有有∴bn，

n00b的情况有1种，即Cn种，a的系数是Cn；

n11b的情况有Cn种，ab的系数是Cn，……，

nrrrr种，ab的系数是Cn，……，

r个取b的情况有Cnn都取b的情况有Cnn种，bn的系数是Cnn，

rnrrCnabnnCnb(nN)，

0n1n(ab)nCnaCnab这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫(ab)的二项展开式，⑶它有系数Cn(r⑷Cnarnrrnn1项，各项的0,1,n)叫二项式系数，

．

rnrrabbr叫二项展开式的通项，用Tr1表示，即通项Tr1Cn1a1,bx，则(1x)n1Cnx⑸二项式定理中，设三、讲解范例：

rrCnxxn

例1．展开(1解一：

(114)．

x．

141464111112313)1C4()C4()C4()()41234xxxxxxxxx1414144413123xCxCxCx1解二：(1)()(x1)()444

xxx46411234．

xxxx例2．展开(2x16)．

x解：(2x161)3(2x1)6

xx16152433221[(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C(2x)C66666(2x)1]

3x6012164x3192x2240x16023．

xxx第二课时

例3．求解：(xa)12的展开式中的倒数第4项

(xa)12的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，

91299339T91C12xaC12xa220x3a9．

例4．求（1）(2a3b)6，（2）(3b2a)6的展开式中的第3项．

2C6(2a)4(3b)22160a4b2，

解：（1）T21 （2）T21点评：2C6(3b)4(2a)24860b4a2．

(2a3b)6，(3b2a)6的展开后结果相同，但展开式中的第r项不相同x39()的展开式常数项；

3x

例5．（1）求（2）求x39()的展开式的中间两项3xr939rx9r3rr2r9解：∵Tr1C()()C93x2，

3x∴（1）当936r0,r6时展开式是常数项，即常数项为T7C9332268；

2

（2）x39()的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，

3x4989T5C3x91294251093，T6C93x2378x3

x15

第三课时

例6．（1）求（2）求(x解：(12x)7的展开式的第4项的系数；

19)的展开式中x3的系数及二项式系数x

3(12x)7的展开式的第四项是T31C7(2x)3280x3，

∴(12x)7的展开式的第四项的系数是280．

（2）∵(x191)的展开式的通项是Tr1C9rx9r()r(1)rC9rx92r，

xx∴92r3，r3，

∴33x3的系数(1)3C984，x3的二项式系数C984．

例7．求(x23x4)4的展开式中x的系数

分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开

解：（法一）(x23x4)4[(x23x)4]4

01234C4(x23x)4C4(x23x)34C4(x23x)242C4(x23x)43C444，

显然，上式中只有第四项中含∴展开式中含（法二）：x的项，

3343768

x的项的系数是C4(x23x4)4[(x1)(x4)]4(x1)4(x4)4

0413223404132234(C4xC4xC4xC4xC4)(C4xC4x4C4x42C4x43C444)

33344C44768．

x的项的系数是C4mn∴展开式中含例8．已知f(x)12x14x

(m,nN*)的展开式中含x项的系数为36，求展开式中含x2项的系数最小值

分析：展开式中含x2项的系数是关于m,n的关系式，由展开式中含x项的系数为36，可得2m4n36，从而转化为关于m或n的二次函数求解

解：12xm14xn展开式中含x的项为

1111Cm2xCn4x(2Cm4Cn)x

11(2Cm4Cn)36，即m2n18，

m∴12x14xn展开式中含x2的项的系数为

22222Cn42m22m8n28n，

tCm∵∴m2n18，

∴m182n，

t2(182n)22(182n)8n28n16n2148n612

3715337*n)，∴当n时，t取最小值，但nN，

44816(n2∴

n5时，t即x2项的系数最小，最小值为272，此时n5,m8．