2.3.1 圆的标准方程名师教学设计2

2.3.1

圆的标准方程

●教学目标

1．掌握圆的标准方程的形式特点；

2．能根据圆心坐标、半径熟练写出圆的标准方程；

3．能从圆的标准方程求出它的圆心和半径.

●教学重点

圆的标准方程

●教学难点

根据条件建立圆的标准方程

●教学方法

学导式

●教学过程

设置情境：在初中的几何课本中，大家对圆的性质就比较熟悉，首先来回顾一下圆的定义。

平面内与定点距离等于定长的点的集合是圆，定点就是圆心，定长就是半径. 按照求解曲线方程的一般步骤来求解圆的方程. 1．圆的标准方程：

(x―a)2＋(y―b)2＝r2

其中圆心坐标为（a,b），半径为r

推导：如图7—32，设M（x,y）是圆上任意一点，根据定义，点M到圆心C的距离等于r,所以圆C就是集合P{M

|MC|r}.由两点间的距离公式，点M适合的条件可表22示为(xa)(yb)r

把①式两边平方，得(x―a)2＋(y―b)2＝r2

当圆心在原点，这时圆的方程是：x2＋y2＝r2

小结：由圆的标准方程知道，只要知道圆的圆心、半径就可以写出圆的方程。

课堂练习：1、P77

练习

1 写出下列各圆的方程

⑴圆心在原点，半径是3；

⑵圆心在点C(3,4)，半径是5；

⑶圆心在点C(8,－3),经过点P(5,1)。

2、说出下列圆的圆心、半径

22⑴(x－2)＋(y＋3)＝25 22⑵(x＋2)＋(y－1)＝36 22⑶x＋y＝4 223、判断下列各点与圆(x＋1)＋(y－1)＝4的位置关系：

①A(1,1)；②B(0,1)；③C(3,1)。

222小结：点P(x0,y0)与(x－a)＋(y－b)＝r的位置关系是

222222

(x0－a)＋(y0－b)＝r等价于点P在圆上；(x0－a)＋(y0－b)＞r等价于点P在圆外；

222(x0－a)＋(y0－b)＜r等价于点P在圆内。

2．例题讲解：

例1

求以C（1，3）为圆心，并且和直线3x－4y－7=0相切的圆的方程. 回忆初中直线与圆的位置关系：

①设圆心到直线的距离d，圆的半径为r，则d＞r等价于直线与圆相离；d＝r等价于直线与圆相切；d＜r等价于直线与圆相交。

②从交点个数来看：直线与圆没有交点等价于直线与圆相离；直线与圆只有一个点等价于直线与圆相切；直线与圆有两个点等价于直线与圆相交。

③从方程的观点来看：由圆的方程与直线的方程消去y(或x)后得到一个一元二次方程，用判别式Δ与0的大小来判别：Δ＞0等价于直线与圆相交；Δ＝0等价于直线与圆相切；Δ＜0等价于直线与圆相离。

解：因为圆C和直线3x－4y－7=0相切，所以半径r等于圆心C到这条直线的距离. 根据点到直线的距离公式，得r3143732(4)2216

5因此，所求的圆的方程是(x1)(y3)2256.

25说明直线和圆相切的性质是解决圆的问题重要知识

例2

已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点M（x0，

y0）的切线的方程. 解：如图，设切线的斜率为k，半径OM的斜率为k1,因为圆的切线

垂直于过切点的半径，于是k1

k1k1y0x,k0. x0y0x0(xx0)

y0经过点M的切线方程是：yy022整理得：x0xy0yx0

y022因为点M（x0，,y0）在圆上，所以x0y0r2

所求切线方程为：x0xy0yr2

当点M在坐标轴上时，上述方程同样适用. 猜测：已知圆的方程是(x－a)2+(y－b)2=r2，则经过圆上一点M（x0，

y0）的切线的方程是(x－a) (x0－a)+(y－b) (y0－b)=r2. 说明：例2结论要求学生熟记.，一题多解

例3

图7—34是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图.该圆拱跨度AB=20m，拱高OP=4m，在建造时每隔4m需用一个支柱支撑，求支柱A2P2的长度（精确到0.01m）. 解：建立直角坐标系如图7—34所示.

圆心在y轴上，设圆心的坐标是（0，b），圆的半径是r,那么圆的方程是x2+(y－b)2=r2 因为P、B都在圆上，所以它们的坐标（0，4）、（10，0）都是这个圆的方程的解.于是得到方程组. 2220(4b)r22

解得b=－10.5, r=14.522210(0b)r所以这个圆的方程是：x2+(y+10.5)2=14.52 把点P的横坐标x=－2代入圆方程得

y14.52(2)210.53.86(m)

答：支柱A2P2的长度约为3.86m. 说明：例3一方面让学生进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，另一方面了解待定系数法确定曲线方程的思路. Ⅲ.课堂练习

课本P77

练习1，2，3，4 思考题：

1、圆x2＋y2＝1上的点到直线3x＋4y－25＝0的最小距离是__________。5 2．直线3x－4y+17=0被(x－2)2＋(y－2)2＝25所截得的弦长是_____________.8 ●归纳总结

1数学思想：数形结合，

2数学方法：解析法，图形法。

通过本节学习，要求大家熟练掌握圆的标准方程，了解待定系数法，进一步熟悉求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的有关圆的实际问题.。要学会把圆的几何性质与解析法结合起来解决问题。

●作业

习题7.7

1，2，3，4