二 综合法与分析法名师教学设计1

数学选修4-5 证明不等式的基本方法（2）

综合法与分析法

导学案

学习目标

【学习目标】

1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法；

2. 会用综合法、分析法证明问题；了解综合法、分析法的思考过程，选择适当的证明方法.. 【重点与难点】

1. 重点：综合法、分析法解决数学问题的思路及步骤．

2. 难点：综合运用综合法、分析法解决较复杂的数学问题

【使用说明】

第一步：仔细阅读课本23页至25页的内容， 在课本上标注疑难之处，再完成本导学案。第二步：请结合导框里的提示进行操作，小组合作、问题集合、解决疑难、展示点评、从而逐步学习简单的含有绝对值的不等式的解法。

【学习方法】

体验过程——小组讨论——归纳特点——灵活应用.

学习过程

【课前预习】

一、请同学们预习课本23页至25页,思考以下问题

预习时我的疑惑：

从题目的条件或结论出发，根据已知的定义、定理、公理等，通过

推理直接推导出所要证明的结论，这种证明方法称为直接证明．

（1）

直接证明中两种最基本的证明方法是什么?

（2）

什么是综合法？综合法的特点是什么?

（3）

什么是分析法？分析法的特点是什么?

（4）

在解题过程中，我们如何综合使用综合法和分析法？

二．【预习检测】

1. 已知a,b,cR，abc1，求证：111abc9

2.求证38110.

1. 综合法

(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用

等，

经过一系列的

，最后推导出所要证明的结论成立，这种

证明方法叫做综合法．

(2)特点：由

导

;

(3)框图表示：用P表示已知条件，已有的定义、公理、定理等，Q表示所要

证明的结论，则综合法可用框图表示为：

2.

分析法

(1)定义：一般地，从要证明的

，逐步寻求使它成立

的

，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实

(

等)，从而得出要证的命题成立，这

种证明方法叫做分析法．

(2) 特点：

索

.

(3)框图表示：用Q表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：

1

【建构新知】

设a，b＞0，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.

( 用分析法思路书写)

证明

法一

分析法

要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立．

只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立，

又因a＋b＞0，

只需证a2－ab＋b2＞ab成立，

只需证a2－2ab＋b2＞0成立，

即需证(a－b)2＞0成立．

而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立．

由此命题得证．

法二

综合法

a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0 ⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab. 注意到a，b∈R＋，a＋b＞0，由上式即得

(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．

∴a3＋b3＞a2b＋ab2. 议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？

思考：请对综合法与分析法进行比较，说出它们各自的特点。回顾以往的数学学习，说说你对这两种证明方法的新认识。

三、总结提升

学习小结

1. 直接证明包括综合法和分析法. 2. 比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. 知识拓展

综合法是“由因导果”，而分析法是“执果索因”，它们是截然相反的两种证明方法，分析法便于我们去寻找思路，而综合法便于过程的叙述，两种方法各有所长，在解决问题的问题中，综合运用，效果会更好，综合法与分析法因其在解决问题中的作用巨大而受命题者的青睐，在历年的高考中均有体现，成为高考的重点和热点之一.

学习小结

分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,，直到所有的已知P都成立.

知识拓展

证明过程中分析法和综合法的区别: 在综合法中,每个推理都必须是正确的,每个推论都应是前面一个论断的必然结果,因此语气必须是肯定的. 分析法中,首先结论成立,依据假定寻找结论成立的条件，这样从结论一直到已知条件.

已知n0,求证n4n23

2

巩固练习

综合法与分析法的优点

综合法的优点：叙述简洁、直观，条理清楚；而且可使我们从已知的知识中自主作答，A|B对批，小组长抽批，进一步获得新的知识．

遇到的问题、收获汇报。

分析法的优点：更符合人们的思维规律，利于思考，思路自然，在探求问题

的证明时，它可帮助我们构思．应该指出的是不能把分析法和综合法绝对分开，

正如恩格斯所说“没有分析就没有综合”一样，分析与综合是相比较而存在的，

它们既是对立的，又是统一的．严格地讲，分析是为了综合，综合又需根据分析，

因而有时在一个命题的论证中，往往同时应用两种方法，有时甚至交错使用．

【反思小结】

本节课的目标是否达成？

你的疑惑解决了吗？存在的问题还有哪些？

有什么收获？

二．【预习检测】

【课中导学案】

【问题情景一】

已知a,b0,求证:a(b2c2)b(c2a2)4abc.

【新知生成】 一般地,利用 和某些数学 、 、 等,经过一系列 ,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 【小组讨论】

用P表示已知条件，已有的定义、公理，Q表示所要证明的结论，则综合法用框图如何表示？

【总结综合法的特点】 ， .

【典型例题】

例1．在△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列, a,b,c成等比数列,求证△ABC为等边三角形.

【学习心得】 【问题情景二】

请回想一下基本不等式ab2ab(a0,b0)的证明过程.

3

【新知生成】

从要证明的 出发，逐步寻找使它成立的 ，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、 、

、 等）为止，这种证明方法叫做分析法. 【小组讨论】

用P1、P2、P3表示已知条件，已有的定义、公理，Q表示所要证明的结论，则分析

新知：一般地,利用

,经过一系列的推理论证,最后导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫综合法. 要点：顺推证法；由因导果. 探究任务二：分析法

ab法用框图如何表示？

【总结分析法的特点】

， .

变式：求证2367.

【学习心得】 【问题情景三】

比较综合法与分析法的特点，在解题过程中，我们如何综合使用综合法和分析法？【典型例题】

例3．已知,k2(kZ)，且sincos2sin ① sincossin2 ② 求证：1tan21tan21tan22(1tan2)

※

学习探究

探究任务一：综合法

问题：已知a,b0,求证:a(b2c2)b(c2a2)4abc.

问题：如何证明基本不等式2ab(a0,b0)

新知：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 要点：逆推证法；执果索因

※

典型例题

例1已知a,b,cR，abc1，求证：111abc9

变式：已知a,b,cR，abc1，求证：

(1a1)(1b1)(1c1)8.

小结：用综合法证明不等式时要注意应用重要不等式和不等式性质,要注意公式应用的条件和等号成立的条件,这是一种由因索果的证明.

小结：证明含有根式的不等式时,用综合法比较困难,所以我们常用分析法探索证明的途径.

4

5