3.三个正数的算术-几何平均不等式教案板书设计

选修4-5不等式选讲

§1.1.3《三个正数的算术—几何平均不等式》学案

【学习目标】：

1．了解三个正数的均值不等式的证明方法及其推广形式，掌握它的形式特征，会运用它证明

简单的不等式及求简单的最值问题。 2、通过观察归纳、类比、猜想等方法发现、证明、理解、运用定理，并将它推广到一般情形，。

【学习重点】：三个正数的算术-几何平均不等式．

【学习难点】：运用拆项，调配系数，凑型等方法创造条件使用三个正数的算术—几何平均不等式求最值及证明不等式．

【学习过程】：

一、复习引入：

1、常用公式：

ab3___________.；a3b3____________.

2、重要不等式：

当且仅当ab时等号成立

a2b22aba、bR，3、基本不等式：

当且仅当ab时等号成立

ab2aba、bR，4、问题：类比基本不等式，猜想一下，三个正数的算术—几何平均不等式是什么？

二、新课探究：

1、定理：证明：

1

若a,b,cR,则a3b3c33abc,当且仅当abc时,等号成立.

2、定理解读：

3、定理推广：n个正数的算术—几何平均不等式：

_______________________________________________________________ 三、例题解析：

3例１.求函数y2x2(x0)的最小值．

x

【题后小结】：______________________________________________________ 【变式训练】：求函数

y2x

【题后小结】：______________________________________________________ 例2.已知0x1，求函数yx1x2的最大值．

【题后小结】：______________________________________________________ 2

3(x0的最小值．)

2x

【变式训练】：已知0x1，求函数yx21x的最大值．

【题后小结】：______________________________________________________ 2、用算术—几何平均不等式证明不等式：

111例3：已知a,b,cR,求证：abc9

abc

【题后小结】：______________________________________________________ 【变式训练】：已知0a1，求证：

【题后小结】______________________________________________________

3

1a49．

1a

四、应用提升：

例4

如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

x

a【题后小结】______________________________________________________

五、课堂小结：

本节课我们学习了三个正数的算术-几何平均不等式，重、难点是什么？体现了哪些数学思想方法？

1．

重点：不等式的三个条件——“一正二定三相等”；

2．难点：不等式运用过程中的变形与拼凑方法；

3．数学思想：类比，整体、转化等

4