一 数学归纳法课堂实录

第4讲

数学归纳法

学习目标

1．数学归纳法的原理及其步骤．

2．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

基础知识

数学归纳法的一般步骤：

（1）

证明当n取第一个值n0（n0N*）时命题成立

（2）

假设nk(kn0,kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立。

只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立。

注：证明当nk1时，必需用到假设nk(kn0,kN*)的结论。

第一步中验证n=n0，其中n0不一定是1，看题目的要求，有时可能是2或3等。

注意事项

1.数学归纳法是一种只适用于与正整数有关的命题的证明方法，第一步是递推的“基础”，第二步是递推的“依据”，两个步骤缺一不可，在证明过程中要防范以下两点：

第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．

(2)第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在证明n＝k＋1时，命题也成立的过程中一定要用到它，否则就不是数学归纳法．第二步关键是“一凑假设，二凑结论”．

2.运用数学归纳法应注意以下三点：

(1)n＝n0时成立，要弄清楚命题的含义．

(2)由假设n＝k成立证n＝k＋1时，要推导详实，并且一定要运用n＝k成立的结论．

(3)要注意n＝k到n＝k＋1时增加的项数．

题型一

用数学归纳法证明等式

11【例1】在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝2(an＋a)．

n(1)

求a1，a2，a3；

(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式，并且用数学归纳法证明你的猜想．

【变式1】

用数学归纳法证明：

对任意的n∈N*，111n＋＋…＋＝. 1×33×52n－12n＋12n＋1

题型二

用数学归纳法证明整除问题

【例2】试证：当n∈N*时，f(n)＝32n＋2－8n－9能被64整除．

【变式2】

用数学归纳法证明an＋1＋(a＋1)2n－1(n∈N*)能被a2＋a＋1整除．

题型三

归纳、猜想、证明

【例3】数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．

(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；

(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．

【变式3】

在数列{an}、{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比数列(n∈N*)．

(1)求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论；

1115(2)证明：＋＋…＋＜12. a1＋b1a2＋b2an＋bn

当堂检测

1.用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(

) A. 2

B. 3

C. 5

D. 6 2. 如果命题p(n)对n＝k(k∈N*)成立，则它对n＝k＋2也成立．若p(n)对n＝2也成立，则下列结论正确的是(

) A. p(n)对所有正整数n都成立

B. p(n)对所有正偶数n都成立

C. p(n)对所有正奇数n都成立

D. p(n)对所有自然数n都成立

3.某个与正整数n有关的命题，如果当n＝k(n∈N*，k≥1)时，该命题成立，则一定可推得当n＝k＋1时，该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，则(

) A. n＝4时该命题成立

B. n＝6时该命题成立

C. n＝4时该命题不成立

D. n＝6时该命题不成立

4.用数学归纳法证明不等式11113＋＋…＋2n<14(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k递推n＋1n＋2到n＝k＋1时不等式左边(

) 111A. 增加了一项 B. 增加了两项、

2k＋12k＋12k＋2C. 增加了B中两项但减少了一项221

D. 以上各种情况均不对

k＋1222n2n2＋15. 用数学归纳法证明：1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝，第二步证明由“k到k＋31”时，左边应加(

) A. k2

B. (k＋1)2

C. k2＋(k＋1)2＋k2

D. (k＋1)2＋