信息技术应用 μ，σ对正态分布的影响名师教学视频（文字实录）

2.4.1正态分布

【教学目标】

1．了解正态分布的意义，掌握正态分布曲线的主要性质及正态分布的简单应用．

2．了解假设检验的基本思想，会用质量控制图对产品的质量进行检测，对生产过程进行控制．

【教学重难点】

教学重点：1.正态分布曲线的特点；

2.正态分布曲线所表示的意义. 教学难点：1.在实际中什么样的随机变量服从正态分布；

2．正态分布曲线所表示的意义. 【教学过程】

一、设置情境，引入新课

这是一块高尔顿板，让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下，小球在下落的过程中与层层小木块碰撞，最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内．

问题1.在投放小球之前，你能知道这个小球落在哪个球槽中吗？

问题2.重复进行高尔顿板试验，随着试验次数的增加，掉入每个球槽中小球的个数代表什么？

问题3.为了更好的研究小球分布情况，对各个球槽进行编号，以球槽的编号为横坐标，以小球落入各个球槽的频率值为纵坐标，你能画出它的频率分布直方图吗？

1

问题4.随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会发生什么样的变化？

二、合作探究，得出概念

随着试验次数的增加，这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线．

这条曲线可以近似下列函数的图像：

1,(x)e2

其中实数(x)222,x(,),

和(0)为参数，我们称,(x)的图像为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

问题5.如果在高尔顿板的底部建立一个水平坐标轴，其刻度单位为球槽的宽度，X表示一个随机变量，X落在区间(a,b]的概率为什么？其几何意义是什么？

一般地，如果对于任何实数ab，随机变量X满足

P(a

ab则称X的分布为正态分布，记作N，如果（，）随机变量X服从正态分布，则记为X

问题6.在现实生活中，什么样的分布服从或近似服从正态分布？

问题7.结合，(x)的解析式及概率的性质，你能说说正态分布曲线的特点吗？

可以发现，正态曲线有以下特点：

（1）

曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

（2）

曲线是单峰的，它关于直线x对称；

（3）

曲线在x处达到峰值．

N（，2）21；

2（4）

曲线与x轴之间的面积为1；

（5）

当一定时，曲线随着德变化而沿x轴平移；

2

（6）

当一定时，曲线的形状由确定，越小，曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中；越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．

若X，则对于任何实数a0,概率

N（，2）P(a

aa,(x)dx

对于固定的和a而言，给面积随着的减少．这说明越小，X落在区间（a,a]的概率P(X)0.6826,P(2X2)0.9544,

P(3X3)0.9774.可以看到，正态总体几乎总取值于区间(3X3)之内．而在此区间以外取值的概率只有0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生．

在实际应用中，通常认为服从于正态分布N的随机变量X只取(3,3)之间的（，2）值，简称之为3原则．

三、

典型例题

例1.

在某次数学考试中，考生的成绩服从一个正态分布，即（1）

试求考试成绩位于区间（70,110）上的概率是多少？

（2）

若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩在（80,100）间的考生大约有多少人？

解析：正态分布已经确定，则总体的期望和标准差就可以求出，这样就可以根据正态分布在三个常见的区间上取值的概率进行求解. 解：因为

N(90,100)．

N(90,100)，所以

=90，

=10．

（1）

由于正态变量在区间(2,2)内取值的概率是0.9544,而该正态分布中，

29021070,290210110，于是考试成绩位于区间（70,110）内的概率就是0.9544．

（2）

由=90，

=10，得80,100．由于正态变量在区间(,)内取值的概率是0.6826,所以考试成绩位于区间（80,100）内的概率就是0..6826.一共有2000名考生，所以考试成绩在（80,100）间的考生大约有20000.68261365人．

3

点评：解答这类问题的关键是熟记正态变量的取值位于区间(,)，(2,2)，(3,3)上的概率值，同时又要根据已知的正态分布确定所给区间属于上述三个区间中的哪一个. 变式训练.已知一次考试共有60名同学参加，考生的成绩X57人的分数在下列哪个区间内？（

）

C.(100,125]

D.(105,115]

A.(90,110]

B.(95,1

2

5答案C．

四、

反馈测评

1．

给出下列三个正态总体的函数表达式，请找出其均值μ和标准差σ

N(110,25),据此估计，大约应有（1）f(x)121ex22,x(,)

（2）f(x)22e(x1)28,x(,)

（3）f(x)2.若随机变量概率（

）

22(x1)2e,x(,)

2N(2,4),则在区间(4,2]上的取值的概率等于在下列哪个区间上取值的A.(2,4]

B.(0,2

]

C.(2,0]

D.(4,4]

3．若随机变量服从正态分布N(0,1)，则在区间(3,3]上取值的概率等于（

）

A.0.6826

B.0.9544

C.0.9974

D.0.3174 4.若一个正态总体落在区间(0.2,)里的概率是0.5，那么相应的正态曲线f（x）

在x=

时，达到最高点．

答案：1.(1)0，1；(2)1，2；(3)-1，0.5

2.C

3.C

4. 0.2

五、

课堂小结

1．了解正态曲线、正态分布的概念，知道正态曲线的解析式及曲线的特点．

2．了解假设检验的基本思想并体会它的应用．

六、

作业

课本P86习题2.4 1、2题.

4