3.2.2 复数代数形式的乘除运算名师教学设计1

复数代数形式的乘除运算

许昌市建安区第三高级中学 王

莹

一．教学目标：

1 知识与技能：

理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算。

2 过程与方法：

理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题。

3 情感、态度与价值观：

复数的代数形式的乘除运算与多项式的乘除运算类似，教学过程中我用类比的方法引导学生，提高学生的学习兴趣。

二．教学重难点

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

三．教具准备：多媒体

四．教学过程：

复习提问： 已知两复数z1=a+bi，z2=c+di (a，b，c，d∈R) 1.加法、减法法则：

z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.

即:两个复数相加(减)就是

实部与实部,虚部与虚部分别相加(减)

abicdiacbdi 2.加法运算律

交换律: z1+z2=z2+z1. 结合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3) 新课引入：

探究复数乘法运算：

引例

(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd 两个复数的乘法是否可以用代数式的乘法运算？

设z1=a+bi，z2=c+di 是任意两个复数，那么它们的乘积为：

abicdiacadibcibdi2

ibci

acadacbdadbci

两个复数的乘法可以用两个代数式的乘法，把i2换成-1，然后实、虚部分别合并。

我们发现两个复数的乘积是一个确定的复数。

讲解新课：

1．复数的乘法运算规则：

规定复数的乘法按照以下的法则进行：

设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.

其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数. 例题讲解

例1：计算

34i23i分析：类似两个多项式相乘，把i2换成-1 解：

原式69i8i12i2

617i12

617i

探究运算律：

复数的乘法是否满足交换律，结合律以及乘法对加法的分配律？

请验证乘法是否满足交换律? 对任意复数z1=a+bi, z2=c+di (a，b，c，d∈R) 则z1z2abicdiacadibcibdi2

acadibcibd

acbdadbci

而z2z1cdiabiacadibcibdi2

acadibcibd

acbdadbci

∴

z1z2z2

z1

同样的方法可以证明乘法的结合律和分配律

2.乘法运算律

对任意z1,z2,z3C.

有

z1·z2= z2·z1

(交换律)

(z1·z2)·z3= z1·(z2·z3)

(结合律)

z1 (z2+z3)= z1·z2+z1·z3

(分配律) 例题讲解

例2.计算

（1）1i； （2）34i34i .

2解：（1）1i12ii212i12i.

2（2）

34i34i324i91625; 2点评：实数集中的完全平方公式、平方差等公式在复数集中仍然适用. 3.共轭复数

定义：实部相等，虚部互为相反数的两个复数叫做互为共轭复数。

其中，虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。

记法：复数z=a+bi 的共轭复数记作

z= a-bi 口答：说出下列复数的共轭复数

⑴z=2+3i

(2) z=-6i

(3) z=3 z=2-3i z=6i z=3

注意:实数的共轭复数是它本身(如上⑶)

思考：

若z1,z2是共轭复数，那么z1z2是一个怎样的数？

解：令z1abi,则z2abi

则z1z2abiabi

2

a2bi

a2b2

结论：任意两个互为共轭复数的乘积是一个实数. 探究: 类比实数的除法是乘法的逆运算,我们规定复数的除法是乘法的逆运算.试探求复数除法法则. 4:除法运算规则：

满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)(c+di)或者abi

cdi①设复数a+bi(a，b∈R)，除以c+di(c，d∈R)，其商为x+yi(x，y∈R)，

即(a+bi)÷(c+di)=x+yi

∵(x+yi)(c+di)=(cx－dy)+(dx+cy)i. ∴(cx－dy)+(dx+cy)i=a+bi. 由复数相等定义可知cxdya,

dxcyb.acbdx,22解这个方程组，得cd

ybcad.c2d2

于是有:(a+bi)÷(c+di)=acbdbcadi. c2d2c2d2abi的分母有理化得：

cdi②利用(c+di)(c－di)=c2+d2.于是将原式=abi(abi)(cdi)[acbi(di)](bcad)i

22cdi(cdi)(cdi)cd(acbd)(bcad)iacbdbcad22i. 2222cdcdcd∴(a+bi)÷(c+di)=acbdbcad2i. 222cdcd点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而(c+di)·(c－di)=c2+d2是正实数.所以可以分母"实数"化. 把这种方法叫做分母实数化法

例3计算(12i)(34i)

解：(12i)(34i)12i

34i(12i)(34i)386i4i510i12i(34i)(34i)32422555

小结: 1.两复数的乘除法

(abi)(cdi)(acbd)(bcad)iacbdbcad(abi)(cdi)22i22cdcd两复数abi与abi叫共轭复数；两复数互为共轭复数，则它们的乘积为实数。2.共轭复数

作业

课本P112 A组第4题

五

教学反思：

复数的乘法法则是：(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i. 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式. 复数的除法法则是：abiacbdbcadi(c+di≠0). cdic2d2c2d2两个复数相除较简捷的方法是把它们的商写成分式的形式，然后把分子与分母都乘以分母的共轭复数，再把结果化简.

板书设计

3.2.2复数代数形式的乘除运算

一、乘法运算规则

二、共轭复数

三、除法运算规则

例 题

小 结