2.3.1 圆的标准方程优质课教学设计

2.3.2 圆的一般方程

示范教案

整体设计

教学分析

教材利用圆的标准方程推导出了圆的一般方程，并讨论了二元二次方程与圆的关系，值得注意的是在教学中引导学生分析圆的两种方程形式的特点和各自适用的范围．

三维目标

1．掌握圆的一般方程的特点，培养分类讨论的数学思想．

2．会求圆的方程，提高分析问题、解决问题的能力．

重点难点

教学重点：圆的一般方程及其与标准方程的互化．

22教学难点：对条件“D＋E－4F>0”的理解．

课时安排

1课时

教学过程

导入新课

222设计1.写出圆心为(a，b)，半径为r的圆的标准方程(x－a)＋(y－b)＝r. 22222将圆的标准方程展开并整理，得x＋y－2ax－2by＋a＋b－r＝0. 22222如果设D＝－2a，E＝－2b，F＝a＋b－r，得到方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，这说明圆的方程还可以表示成另外一种非标准方程形式．

22能不能说方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0所表示的曲线一定是圆呢？这就是我们本堂课学习的内容．

设计2.问题：求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程．利用圆的标准方程解决此问题显然有些麻烦，用直线的知识解决又有其简单的局限性，那么这个问题有没有其他解决方法呢？带着这个问题我们来共同研究圆的方程的另一种形式．

推进新课

新知探究

提出问题

前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法？这里我们研究圆的方程是22否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢？给出式子x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，请你利22222用配方法化成不含x和y的一次项的式子把式子－＋－＝r与x＋y22＋Dx＋Ey＋F＝0配方后的式子比较，得出x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较，看各自有什么特点？

讨论结果：

(1)以前学习过直线，我们首先学习了直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式，最后学习一般式．大家知道，我们认识一般的东西，总是从特殊入手．如探求直线方程的一般形式就是通过把特殊的公式(点斜式、两点式、……)展开整理而得到的．

(2)我们想求圆的一般方程，可仿照直线方程试一试！我们已经学习了圆的标准方程，把标准形式展开，整理得到，也是从特殊到一般．

D2E2D＋E－4F(3)把式子x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0配方得(x＋)＋(y＋)＝. 2242222(4)(x－a)＋(y－b)＝r中，r>0时表示圆，r＝0时表示点(a，b)，r<0时不表示任何222

1

D2E2D＋E－4F图形．因此式子(x＋)＋(y＋)＝. 224DE12222①当D＋E－4F>0时，表示以(－，－)为圆心，D＋E－4F为半径的圆；

222DED22②当D＋E－4F＝0时，方程仅有一组实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点(－，222E－)；

2③当D＋E－4F<0时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．

22综上所述，方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线不一定是圆，由此得到圆的方程都能2222写成x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0的形式，但方程x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲线不一定是圆，2222只有当D＋E－4F>0时，它表示的曲线才是圆．因此x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的条件是22D＋E－4F>0. 22我们把形如x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的方程称为圆的一般方程．

(5)圆的一般方程形式上的特点

22x和y的系数相同，不等于0.没有xy这样的二次项．

圆的一般方程中有三个待定的系数D、E、F，因此只要求出这三个系数，圆的方程就确定了．

与圆的标准方程相比较，它是一种特殊的二元二次方程，代数特征明显，圆的标准方程则指出了圆心坐标与半径大小，几何特征较明显．

应用示例

思路1

例1将下列圆的方程化为标准方程，并写出圆的圆心坐标和半径：

22(1)x＋y＋4x－6y－12＝0；

22(2)4x＋4y－8y＋4y－15＝0. 解：(1)对方程左边配方，方程化为

22(x＋2)＋(y－3)＝25. 所以圆心的坐标为(－2,3)，半径为5. (2)方程两边除以4，得

1522x＋y－2x＋y－＝0. 4方程左边配方，得

122(x－1)＋(y＋)＝5. 21所以圆心的坐标为(1，－)，半径为5. 2变式训练

221．圆x＋y－4x－8y＝0的圆心坐标是________，半径r＝________. 答案：(2,4) 25 222．圆x＋y＋Dx＋4y＋1＝0的半径r＝4，则D＝________. 答案：±213

例2求过三点A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)的圆的方程．

解：设所求圆的方程为

2 2222

x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0. 根据题设条件，用待定系数法确定D，E，F.因为点A，B，C的圆上，所以它们的坐标是方程的解，把它们的坐标依次代入上面的方程，整理得到关于D，E，F的三元一次方程组

5E＋F＋25＝0，D－2E＋F＋5＝0，3D＋4E－F－25＝0，解这个方程组，得

D＝6，E＝－2，F＝－15.22

于是得到所求圆的方程

22x＋y＋6x－2y－15＝0. 222点评：我们也可以设圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r.同样，根据已知条件可以列出三个未知数的方程组．通过解方程组，求出a，b，r.那样做，会有较大的运算量．

变式训练

求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求圆的半径和圆心坐标．

22解：设所求圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，由O，M1，M2在圆上，则有

F＝0，D＋E＋F＋2＝0，4D＋2E＋F＋20＝0.2

2解得D＝－8，E＝6，F＝0. 故所求圆的方程为x＋y－8x＋6y＝0，即(x－4)＋(y＋3)＝5. 所以圆心坐标为(4，－3)，半径为5.

1例3已知一曲线是与两个定点O(0,0)，A(3,0)距离的比为的点的轨迹，求这个曲线的2方程，并画出曲线．

解：在给定的坐标系中，设M(x，y)是曲线上的任意一点，点M在曲线上的条件是

|MO|1＝. |MA|2由两点之间的距离公式，上式用坐标表示为

x＋y－22221＝，

22＋y22两边平方并化简，得曲线方程

22x＋y＋2x－3＝0，

将方程配方，得

22(x＋1)＋y＝4. 所以所求曲线是圆心为C(－1,0)，半径为2的圆(如下图)．

3

点评：到两定点A(a，b)，B(c，d)距离的比为λ(λ>0)的点的轨迹为C，当λ＝1时，C为直线即线段AB的垂直平分线；当λ>1或0<λ<1时，C为圆．本题中利用含有动点M|MO|1的等式＝，求得轨迹方程的方法称为定义法．

|MA|2变式训练

1

求与两定点A(1,0)，B(5,0)距离的比为的点的轨迹方程，并说明轨迹形状．

3解：设M(x，y)是轨迹上任一点，则有

|MA|1＝，

|MB|3∴有－－2221＝，

22＋y3＋y2整理，得x＋y－x－2＝0，

1229即(x－)＋y＝，

24122913∴轨迹方程是(x－)＋y＝，其形状是以(，0)为圆心，半径为的圆．

2422

思路2

22例4已知点P(10,0)，Q为圆x＋y＝16上一动点．当Q在圆上运动时，求PQ的中点M的轨迹方程．

解法一：如下图，作MN∥OQ交x轴于N，

1则N为OP的中点，即N(5,0)．因为|MN|＝|OQ|＝2(定长)．

2所以所求点M的轨迹方程为(x－5)＋y＝4. 解法二：设M(x，y)为所求轨迹上任意一点Q(x0，y0)．

10＋xx＝，2因为M是PQ的中点，所以0＋yy＝2，0022

x0＝2x－10，即y0＝2y.

(*)

4

又因为Q(x0，y0)在圆x＋y＝16上，所以x0＋y0＝16. 2222将(*)代入得(2x－10)＋(2y)＝16.故所求的轨迹方程为(x－5)＋y＝4. 点评：解法一是根据已知条件判断出轨迹形状为圆，从而求得轨迹方程．解法二称为相关点法，其步骤是：①设被动点M(x，y)，主动点Q(x0，y0)．

x＝f1②求出点M与点Q坐标间的关系y＝f2x0＝g1③从(Ⅰ)中解出y0＝g202222，y0，0，y0

(Ⅰ)

，，，

(Ⅱ)

④将(Ⅱ)代入主动点Q的轨迹方程(已知曲线的方程)，化简得被动点的轨迹方程．

变式训练

22

已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x＋1)＋y＝4上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解：设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是(x0，y0)．

x0＋4y0＋3由于点B的坐标是(4,3)且M是线段AB的中点，所以x＝，y＝.于是有x0＝222x－4，y0＝2y－3.①

2222因为点A在圆(x＋1)＋y＝4上运动，所以点A的坐标满足方程(x＋1)＋y＝4，即(x022＋1)＋y0＝4.②

323222把①代入②，得(2x－4＋1)＋(2y－3)＝4，整理，得(x－)＋(y－)＝1. 2233所以点M的轨迹是以(，)为圆心，半径长为1的圆．

22例5求圆心在直线l：x＋y＝0上，且过两圆C1：x＋y－2x＋10y－24＝0和C2：x＋2y＋2x＋2y－8＝0的交点的圆的方程．

分析：由于两圆的交点可求，圆心在一直线上，所以应先求交点再设圆的标准方程．

x＋y－2x＋10y－24＝0，解：解方程组22x＋y＋2x＋2y－8＝0，22222222

得两圆交点为(0,2)，(－4,0)．

设所求圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r，因为两点在所求圆上，且圆心在直线l上，222－4－＋b＝r，222＝r，所以得方程组a＋－a＋b＝0.

解得a＝－3，b＝3，r＝10.故所求圆的方程为(x＋3)＋(y－3)＝10. 点评：由已知条件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心的坐标、半径列方程的问题，往往设圆的标准方程．

变式训练

已知圆在x轴上的截距分别为1和3，在y轴上的截距为－1，求该圆的方程．

解法一：利用圆的一般方程．

22设所求的圆的方程为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，由已知，该圆经过点(1,0)，(3,0)和(0，22

5

1＋D＋F＝0，2－1)，则有3＋3D＋F＝0，－2－E＋F＝0.

解得D＝－4，E＝4，F＝3. 22故所求圆的方程为x＋y－4x＋4y＋3＝0. 解法二：利用圆的标准方程．由题意该圆经过P(1,0)，Q(3,0)，R(0，－1)，

222设圆的方程为(x－a)＋(y－b)＝r，则圆心C(a，b)在PQ的垂直平分线上，故a＝2. 因为|PC|＝|RC|，所以－＋b＝a＋将a＝2代入，得b＝－2，所以C(2，－2)．

2222＋22. 而r＝|PC|＝5，故所求圆的方程为(x－2)＋(y＋2)＝5.

知能训练

221．已知点P(2,1)在圆C：x＋y＋ax－2y＋b＝0上，点P关于直线x－y＝0的对称点P′也在圆C上，则a＋b＝________. aa解析：由题意得直线x－y＝0过圆心C(－，1)，则－－1＝0，所以a＝－2.又P′(1,2)，22则1＋2－2－4＋b＝0，则b＝1，所以a＋b＝－1. 答案：－1 2．求下列各圆的半径和圆的坐标：

22(1)x＋y－6y＝0；

22(2)x＋y＋2by＝0(b≠0)；

(3)x＋y－2ax－23ay＋3a＝0(a≠0)．

22答案：(1)(x－3)＋y＝9，圆心为(3,0)，半径为3. 222(2)x＋(y＋b)＝b，圆心为(0，－b)，半径为|b|. (3)(x－a)＋(y－3a)＝a，圆心为(a，3a)，半径为|a|. 3．下列方程各表示什么图形？

22(1)x＋y＝0；

22(2)x＋y－2x＋4y－6＝0；

222(3)x＋y＋2ax－b＝0. 解：(1)此方程表示一个点O(0,0)．

22(2)可化为(x－1)＋(y＋2)＝11，

∴此方程表示以点(1，－2)为圆心，11为半径的圆．

2222(3)可化为(x＋a)＋y＝a＋b(a≠0)，

∴此方程表示以(－a,0)为圆心，a＋b为半径的圆．

4．如下图，等腰梯形ABCD的底边长分别为6和4，高为3，求这个等腰梯形的外接圆的方程，并求这个圆的圆心坐标和半径长．

2222222222

6

解：显然，等腰梯形ABCD的外接圆的圆心在y轴上．

由题设，可得点B的坐标是(3,0)，点C的坐标是(2,3)．

53线段BC的中点坐标是F(，)，直线BC的斜率是kBC＝－3. 22315线段BC的垂直平分线的方程是y－＝(x－)．

2322与y轴的方程x＝0联立，解得y＝. 32所以，梯形外接圆的圆心E的坐标是(0，)．

3半径长|EB|＝－2＋2－32＝85. 322852所以，梯形外接圆的方程是x＋(y－)＝

. 39852，圆心坐标是(0，)．

33

拓展提升

22问题：已知圆x＋y－x－8y＋m＝0与直线x＋2y－6＝0相交于P、Q两点，定点R(1,1)，若PR⊥QR，求实数m的值．

解：设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，

半径长是x＋y－x－8y＋m＝0，由x＋2y－6＝0，22

消去y，得5x＋4m－60＝0.①

2由题意，方程①有两个不等的实数根，所以60－4m>0，即m<15. x1＋x2＝0，由韦达定理4x1x2＝m－12.5

因为PR⊥QR，所以kPRkQR＝－1. y1－1y2－1所以·＝－1，即(x1－1)(x2－1)＋(y1－1)(y2－1)＝0，即x1x2－(x1＋x2)＋y1y2x1－1x2－1－(y1＋y2)＋2＝0.②

x1x2因为y1＝3－，y2＝3－，

22x1x23x1x2x1x2所以y1y2＝(3－)(3－)＝9－(x1＋x2)＋＝9＋，y1＋y2＝6. 22244554代入②，得x1x2＋5＝0，即(m－12)＋5＝0. 445所以m＝10，适合m<15.所以实数m的值为10.

课堂小结

本节课学习了：圆的一般方程，轨迹方程的求法．

作业

本节练习B 1,2题．

设计感想

这是一节介绍新知识的课，而且这节课还非常有利于展现知识的形成过程．因此，在设

7

计这节课时，力求“过程、结论并重，知识、能力、思想方法并重”．

在展现知识的形成过程中，尽量避免学生被动接受，引导学生探索，重视探索过程．一方面，把直线一般方程探求过程进行回顾、类比，学生从中领会探求方法；另一方面，“把标准方程展开→认识一般方程”这一过程充分运用了“通过特殊认识一般”的科学思想方22法．同时，通过类比进行条件的探求——“D＋E－4F”与“Δ”(判别式)类比．在整个探求过程中充分利用了“旧知识”及“旧知识的形成过程”，并用它探求新知识．这样的过程，既是学生获得新知识的过程，更是培养学生能力的过程．

备课资料

备选习题

221．若方程x＋y＋x＋y＋a＝0表示圆，则a的取值范围是(

) 21A．a<－2或a> B．a>

321C．R D．a<

2分析：由二元二次方程表示圆的条件，有D＋E－4F＝a＋(2a)－4(2a＋a－1)>0. 2解之，可得－2

) 2222A．x＋y－px－qy＝0 B．x＋y＋px－qy＝0 2222C．x＋y－px＋qy＝0 D．x＋y＋px＋qy＝0 p解析：由题意知圆过原点，且在x，y轴上的截距分别为p、q，则圆的圆心坐标为(，2q)且常数项为0. 2答案：A 3．已知圆C的方程为f(x，y)＝0，点A(x0，y0)是圆外的一点，那么方程f(x，y)－f(x0，y0)＝0表示的曲线是(

) A．与圆C重合的圆 B．过点A(x0，y0)与圆C相交的圆

C．过点A(x0，y0)与圆C同心的圆 D．可能不是圆

2222解析：设f(x，y)＝x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0，则f(x0，y0)＝x0＋y0＋Dx0＋Ey0＋F>0，从2222而f(x，y)－f(x0，y0)＝x＋y＋Dx＋Ey＋F－x0－y0－Dx0－Ey0－F＝0，过点A(x0，y0)与圆C同心的圆．

答案：C 4．判断下列二元二次方程是否表示圆的方程？如果是，请求出圆的圆心坐标及半径．

2222(1)4x＋4y－4x＋12y＋9＝0；(2)4x＋4y－4x＋12y＋11＝0. 92222解：(1)由4x＋4y－4x＋12y＋9＝0，得D＝－1，E＝3，F＝，而D＋E－4F＝1＋94－9＝1>0，

13122所以方程4x＋4y－4x＋12y＋9＝0表示圆的方程，其圆心为(，－)，半径为；

222112222(2)由4x＋4y－4x＋12y＋11＝0，得D＝－1，E＝3，F＝，D＋E－4F＝1＋9－11＝4－1<0，所以方程4x＋4y－4x＋12y＋11＝0不表示圆的方程．

8 2222222

点评：对于形如Ax＋By＋Dx＋Ey＋F＝0的方程判断其是否表示圆，先化为x＋y＋Dx22＋Ey＋F＝0的形式，再利用条件D＋E－4F与0的大小判断，不能直接套用．另外，直接配方也可以判断．

15．已知P(2,0)、Q(8,0)，点M到点P的距离是它到点Q距离的，求点M的轨迹方程，5并求轨迹上的点到直线l：8x－y－1＝0的最小距离．

解：设M(x，y)，则|MP|＝1由题意得，|MP|＝|MQ|，

5∴－22222－2＋y，|MQ|＝2－2＋y，

212＋y＝5－2722252＋y.化简并整理，得(x－)＋y＝. 41675所求轨迹是以(，0)为圆心，为半径的圆，

447|8×－0－1|48＋－2圆心到直线l的距离为5. 4＝26565.∴圆上的点到直线l的最小距离为－55

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