3.2.2 复数代数形式的乘除运算名师教学设计2

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第三章

数系的扩充与复数的引入

3.2

复数代数形式的四则运算

3.2.2

复数代数形式的乘除运算

A级

基础巩固

一、选择题

1．复数(1＋i)(1＋ai)是实数，则实数a等于(

) A．2

B．1

C．0

D．－1 解析：(1＋i)(1＋ai)＝(1－a)＋(1＋a)i，若是实数，

则1＋a＝0，所以a＝－1.

答案：D

－1＋i2．复数z＝－1在复平面内对应的点在(

) 1＋iA．第一象限

C．第三象限

B．第二象限

D．第四象限

（－1＋i）（1－i）－1＋i＋i－i2－1＋i解析：z＝－1＝－1＝－12（1＋i）（1－i）1＋i＝i－1＝－1＋i，

则复数z对应的点为(－1，1)，此点在第二象限．

答案：B z2－2z3．已知复数z＝1－i，则＝(

) z－1“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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A．2i

B．－2i

C．2

D．－2 解析：因为z＝1－i，

z2－2z（1－i）2－2（1－i）－2所以＝＝＝－2i.

z－11－i－1－i答案：B 4．复数z为纯虚数，若(3－i)·z＝a＋i(i为虚数单位)，则实数a的值为(

) 11A.

B．3

C．－

D．－3 33解析：由已知设z＝ki(k∈R，且k≠0)，

则(3－i)·ki＝a＋i，即k＋3ki＝a＋i，

k＝a，1由两个复数相等的充要条件知解得a＝k＝.

33k＝1，答案：A

5．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数．若z·i＋2＝2z，则z＝(

) A．1＋i

C．－1＋i

B．1－i D．－1－i 解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi，又z·i＋2＝2z，

所以(a2＋b2)i＋2＝2a＋2bi，所以a＝1，b＝1，故z＝1＋i.

答案：A 二、填空题

6．已知a，b∈R，若a－i与2＋bi互为共轭复数，则(a＋bi)2＝________．

解析：因为a－i与2＋bi互为共轭复数，所以a＝2，b＝1，

所以(a＋bi)2＝(2＋i)2＝3＋4i.

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答案：3＋4i

z7．设i是虚数单位，z表示复数z的共轭复数．若z＝1＋i，则i＋i·＝________．

解析：因为z＝1＋i，则＝1－i.

1＋ii（1＋i）z所以＋i·＝＋i(1－i)＝＋i＋1＝2.

ii－1答案：2 28．下面关于复数z＝的结论，正确的命题是________(填－1＋i序号)．

①|z|＝2；②z2＝2i；③z的共轭复数为1＋i；④z的虚部为－1. 2（－1－i）2解析：z＝＝＝－1－i，

－1＋i（－1＋i）（－1－i）所以|z|＝（－1）2＋（－1）2＝2，z2＝(－1－i)2＝2i.

z的共轭复数为－1＋i.z的虚部为－1，所以②④正确．

答案：②④

三、解答题

9．已知复数z＝1＋i，复数z的共轭复数是，求实数a、b使az＋2b＝(a＋2z)2. 解：因为z＝1＋i，＝1－i，

所以az＋2b＝(a＋2b)＋(a－2b)i，

(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.

因为a、b都是实数，

所以由az＋2b2a＋2b＝a＋4a，2＝(a＋2z)，得

a－2b＝4（a＋2），“备课大师”全科【9门】：免注册，不收费！http://www.eywedu.cn/

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a＝－2，a＝－4，解得或

b＝－1b＝2.10．已知复数z满足z＝(－1＋3i)(1－i)－4. (1)求复数z的共轭复数；

(2)若w＝z＋ai，且复数w对应向量的模不大于复数z所对应向量的模，求实数a的取值范围．

解：(1)z＝(－1＋3i)·(1－i)－4＝(2＋4i)－4＝－2＋4i，

所以z的共轭复数z＝－2－4i.

(2)由(1)知，w＝＋ai＝－2＋(a＋4)i，

所以|w|＝（－2）2＋（a＋4）2＝20＋a2＋8a，

|z|＝25.

依题意，得20＋a2＋8a≤20，即a2＋8a≤0，

所以－8≤a≤0，即a的取值范围为

[－8，0]．

B级

能力提升

1．若i为虚数单位，如图中复平面内点Z表示复数z，则表示复z数的点是(

) 1＋i

A．E

B．F

C．G

D．H

解析：由题图可得z＝3＋i，

3＋i（3＋i）（1－i）4－2iz所以＝＝＝＝2－i，则其在复平21＋i1＋i（1＋i）（1－i）面上对应的点为H(2，－1)．

答案：D

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4i（2＋i）2．(2016·全国Ⅲ卷改编)若z＝1＋2i，则＝________．

－z·z－1－解析：因为z·z＝(1＋2i)(1－2i)＝1＋4＝5，

4i（2＋i）4i（2＋i）所以＝＝i(2＋i)＝2i－1.

4z·z－1答案：2i－1

（1＋i）2＋2（5－i）3．已知复数z＝. 3＋i(1)求|z|；

(2)若z(z＋a)＝b＋i，求实数a，b的值．

2i＋10－2i1010（3－i）解：(1)因为z＝＝＝＝3－i，

103＋i3＋i所以|z|＝10.

(2)又z(z＋a)＝b＋i，则(3－i)(3－i＋a)＝(3－i)2＋(3－i)a＝8＋3a－(a＋6)i＝b＋i，

8＋3a＝b，a＝－7，所以⇒

－（a＋6）＝1b＝－13.因此实数a＝－7，b＝－13.

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