2.1.2 演绎推理教案和学案内容

2.1.1演绎推理教学设计

石家庄市鹿泉区第二中学

解遵建

课题：2.1.1演绎推理（教学设计）

授课教师：解遵建

授课类型：新课

一、

教学内容分析

本节选自《普通高中课程标准实验教科书/数学选修1-２》人教A版第二章。这节课的任务是：理解演绎推理的含义与特征，能应用三段论来证明问题，并了解合情推理与演绎推理的联系。教材分四步进行，第一步：回忆学生学过的合情推理；第二步：引入演绎推理，并理解推理的含义与特征；第三步：对三段论进行应用举例；第四步：了解合情推理与演绎推理的联系。通过课堂教学使学生由用浅入深的去学习，体现了由具体到一般，相互联系、相互转化的数学思想。

二、

学生学习情况分析

知识基础：学生已学习了合情推理；在证明问题的过程，也积累了一定解决问题的经验与各种具体方法。

认知水平与能力：从学生已有的知识与经验看，找到所给题目的理论根据才是证明问题的关键，从而完成教学任务中的大前提；

任教班级学生特点：学生基础知识较扎实，思维较活跃，对新鲜的知识有强烈的好奇心。

三、

三维教学目标

1、知识目标：能正确地运用演绎推理 ，进行简单的推理。

2、能力目标：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力，数形结合、转化（或化归）、等数学思想、特殊与一般的方法以及数学应用意识与能力；

3、德育目标：引导学生用联系与转化的观点看问题，了解和感受探索问题的方式方法，在探索问题的过程中获得成功的体验。

四、教学重点：理解演绎推理的含义与特征。并能用三段论证明问题。

五、教学难点：掌握三段论的证明应用；演绎推理与合情推理的区别与联系。

六、教学模式与教法、学法

教学模式：本课采用“探究---发现----应用”教学模式。

教师的教法：利用多媒体辅助教学，突出活动的组织设计与方法的引导。

学生的学法：突出探究、发现与交流。

七、教学过程

（一）、提出问题

初探思路

复习：合情推理的特征：

归纳推理 从特殊到一般

类比推理 从特殊到特殊

从具体问题出发——观察、分析、比较、联想——归纳、类比——提出猜想

[设计意图：使学生巩固已学过的知识和方法，同时也为新问题的解决作铺垫。]

（二）、创设情景

给出定义

让学生观察下列推理句子，你能说出它们的特征吗？

1）所有的金属都能够导电，铀是金属，所以铀能够导电；

（2）太阳系的行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，天王星是太阳系的行星，因此天王星以椭圆形轨道绕太阳运行；

（3）一切奇数都不能被2整除，2017是奇数，所以2017不能被2整除；

（4）三角函数都是周期函数，tanx是三角函数，因此

tanx是周期函数；

（5）两条直线平行，同位角相等，如果

∠A与

∠B是同位角，那么

∠A= ∠B 观察与思考并提出问题

：上面的推理有什么特点？

【设计意图：通过实例让学生有一个感性的认识，从而为演绎推理的含义与特征的引入打下理论基础。同时让学生体会生活处处有数学。】

[板书]演绎推理

（三）、讲授新课

1、演绎推理的定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，这种推理称为演绎推理．（从书上找一找）

2、演绎推理的特点：是由一般到特殊的推理；

3、演绎推理的一般模式：“三段论”，包括

（1）大前提---已知的一般原理；

（2）小前提---所研究的特殊情况；

（3）结论-----据一般原理，对特殊情况做出的判断．

4、三段论的基本格式

M—P（M是P） （大前提）

S—M（S是M） （小前提）

S—P（S是P） （结 论）

5、用集合的观点来解释三段论推理：所有元素都具有性质P,S是M的一个子集,那么S中所有元素也都具有性质P.

【设计意图：让演绎推理更加的形象化，把理论变得清晰化。】

例1 、用三段论的形式写出下列演绎推理. (1)菱形的对角线相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的对角线相互垂直. (2)若两角是对顶角，则此两角相等

(3)0.332是有理数.(4)y=sinx(x∈R)是周期函数. 【审题指导】要注意三段论的结构与格式，其中第(3)(4)小题省略了大前提. 【规范解答】(1)每个菱形的对角线相互垂直

(大前提) 正方形是菱形

(小前提) 所以，正方形的对角线相互垂直

(结论) (2)对顶角相等

(大前提) ∠1和∠2是对顶角

(小前提) ∠1=∠2

(结论)

(3)所有的循环小数是有理数

(大前提) 0.332是循环小数

(小前提) 所以，0.332是有理数

(结论)

(4)三角函数是周期函数

(大前提) y=sinx(x∈R)是三角函数

(小前提) 所以，y=sinx(x∈R)是周期函数.

(结论) 【设计意图：由易到难，使学生深刻认识三段论的结构，并辨别言语之间所隐藏的大前提。为证明的简洁化打下基础。】

（四）、三段论推理应用：

1、三段论推理的形式

“如果b⇒c,a⇒b则a⇒c”，其中：“b⇒c”为大前提，“a⇒b”为小前提，而“a⇒c”为大前提和小前提联合产生的逻辑结果。

2、用三段论写推理过程，关键是明确题目的大小前提. 【设计意图：从推理形式上认识演绎推理，为证明的规范性打下基础。】

3、例题应用

例2、在锐角三角形ABC中，AD ⊥BC,BE⊥AC, D、E是垂足，

求证：AB 的中点

M 到点

D 、E的距离相等。

证明：因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形，

(大前提）

在△ABD中，AD ⊥

BC，即

ADB = 90°

(小前提）

所以△ABD是直角三角形。

(结论）

同理△ABE也是直角三角形。

因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，

(大前提）

而M是Rt△ABD斜边AB的中点，

DM是斜边上的中线，

(小前提）

所以DM =½AB （

结论

）

，同理

EM = ½AB，所以DM = EM。

【设计意图：挖掘题中所包含的推理思路，使学生明确演绎推理的基本过程，突出演绎推理中的“大前提”“

小前提”和“结论”。】

2-例3、证明函数f（x)=-x+2x在（∞，1）内是增函数。

分析:大前提是在某个区间（a，b）内，如果

f ’（x)

> 0, 那么函数y=f（x)在这个区间内单调递增。

小前提是f（x)=-x2+2x在（-∞，1）内满足f ’（x)

> 0

是

本题关键

证明：

f ’（x)= -2x + 2 = 2 (1-x)

因为当x ∈（-∞

，1）时，有

1- x > 0 , 所以f ’（x)

> 0 于是根据三段论，可知函数f（x)=-x2+2x在（-∞

，1）内是增函数。

你还有其它证明方法吗？

【设计意图：让学生明白有些大前提可以省略，从而简化证明步骤，但大前提必须正确。一题多解，让学生更好的发挥主动性，让数学思维得到进一步的发展。】

4、进一步思考三段论的应用：

思考题：

因为所有边长都相等的凸多边形是正多边形（大前提）

而菱形是所有边长都相等的凸多边形（小前提）

所以菱形是正多边形（结论）

（1）上面的推理形式正确吗？

（2）推理的结论正确吗？为什么？

推理形式正确。推理的结论错误。因为大前提错误。所以在演绎推理中，只有前提和推理形式是正确的，结论必定是正确。

【设计意图：让学生理智认识三段论，光有形式是不能保证证明的准确性的。】

注意：

a.证明中常见的错误：

(1)条件分析错误(小前提错). (2)定理引入和应用错误(大前提错). (3)推理过程错误等. b.在演绎推理中，只要前提和推理形式是正确的，结论必定是正确的。

【设计意图：提醒学生在证明过程中要清楚证明的逻辑规则。不能随心所欲、杂乱无章。】

5、练习巩固：

a.下面说法正确的有(

) (1)演绎推理是由一般到特殊的推理；

(2)演绎推理得到的结论一定是正确的；

(3)演绎推理的一般模式是“三段论”；

(4)演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关. (A)1个 (B)2个

(C)3个

(D)4个

【解析】选C.(1)、(3)、(4)显然正确，而演绎推理得到的结论只有当大前提、小前提和推理形式都正确的前提下才是正确的，所以(2)错误. b.“因为四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD的对角线相等”，以上推理的大前提为(

) (A)正方形都是对角线相等的四边形

(B)矩形都是对角线相等的四边形

(C)等腰梯形都是对角线相等的四边形

(D)矩形都是对边平行且相等的四边形

【解析】选B.本题主要考查三段论的原理：若M是P，S是M，则S是P，根据三段论的原理知大前提应为“矩形都是对角线相等的四边形”故选B. 【设计意图：对演绎推理的全面理解的再巩固，对大前提的认识。】

（五）谈谈你对合情推理与演绎推理的认识：

1、从形式上看：归纳是由部分到整体、个别到一般的推理，类比是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理。

2、从结论上看：合情推理的结论不一定正确，有待进一步证明；而演绎推理在前提和推理形式都正确的前提下，得到的结论一定正确。

3、从联系上看：演绎推理是证明结论的重要思维过程，但结论与思路的发现主要靠合情推理。

【设计意图：对已学两种推理的认识更加清晰。】

（六）学生小结，老师点评：

1、演绎推理的含义与特征；

2、演绎推理的一般模式——三段论及其应用；

3、合情推理与演绎推理的区别；

4、数学思想方法：类比、归纳、特殊与一般、发散思维的培养。

【设计意图：让学生把自己对这节课的收获分享给大家，同时暴露出问题，老师进一步的补充。】

（七）课堂检测：

用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°

【设计意图：检测学生对三段论的认识与应用。并及时了解这节课学生掌握的

情况。】

（八）作业：课本33页练习的1

、2、3 提高作业：已知：a,b>0,求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc

【设计意图：分层留作业，让不同的学生都有展示，同时为下一节的直接证明做铺垫。】

（九）

2.1.2演绎推理

三、演绎推理应用在证明题

板书一、引入演绎推理

例2、

设计：

含义与特点

二、三段论应用

例3、

例1、

八、教学反思

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对演绎推理的研究兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学及一系列的课堂探究活动，加深学生演绎推理认识；让学生体会了的三段论的应；，在应用过程中提高了学生对证明问题的解决能力和认识程度；同时认识了合情推理与演绎推理的关系，鼓励学生辩证的认识客观世界，学会大胆的猜想与证明。在教学过程中还有些不足，比如：有些语言的安排还不够严谨，问题设计的巧妙性还有待于提高。

（五）、学生小结

教师点评

①

知识：点到直线的距离的公式推导以及应用．

②

数学思想方法：类比、转化（或化归）、数形结合、特殊与一般的方法．

（六）本节小测试：

多媒体展示：已知点A（-3，-4），B（6，3）到直线l:ax+y+1=0的距离相等，求a的值。

（七）布置作业并讨论交流本节的收获。P110页 2 、3、 4题

（八）：板书设计：

（2）发现与探究公式

三、本节测试

点到直线的距离

（3）例题及应用

一、课题引入

（4）归纳小结

四、布置作业

二、导入新课

（1）给出问题：

八、教学反思：

本教学设计先由引例出发，创设情境，激发学生对点到直线的距离的研究兴趣；在讲授新课部分，通过结合多媒体教学及一系列的课堂探究活动，加深学生对点到直线的距离的认识；最后通过课堂练习来巩固学生对点到直线的距离的掌握。