一 比较法优秀教学实录

2.1

比较法

预习目标:1.理解用比较法证明不等式的原理和思路．2．会运用比较法证明简单的不等式. 一、自学释疑

根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题。

二、合作探究

1.作差比较法

(1)作差比较法常用于多项式、分式形式的不等式，其关键步骤是变形．常用技巧是：通分、配方、因式分解等．变形的目的是直观地看出与0的大小关系．

(2)在比较大小关系的问题中，很多情况下是可以直接作差比较的，但是为了得到准确的结果，可以先用特殊值试之，对比较结果进行预测，这样在比较过程中，不会因为疏忽造成结果的错误，尤其在多个数或式比较中，为了避免两两比较的烦琐，可以提前赋值预测，再进行比较．

2．作商比较法

bb(1)在作商比较法中>1⇒b>a是不正确的，因为与a，b的符号有关，当a>0，b>0时，>1⇒b>a是正确的，aab若a<0，b<0，则>1⇒b

a(2)作商比较法常用于幂、指数或对数不等式，应用的前提是a>0，b>0. 探究1

作差比较法和作商比较法的实质分别是什么？

探究2

作差法遵循什么步骤？适用于哪些类型？

例1 求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)；

(2)若a>b>c，则bc2＋ca2＋ab2

变式练习1．(江苏高考)已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b. 例2 已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.

a＋b变式练习2．设a>0，b>0，求证：aabb≥(ab)2.

例3 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？

变式练习3．证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面，下同)的周长相等，那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．

参考答案: 探究1【提示】

作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与0的大小关系．作商比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为判断一个数或式子与1的大小关系. 探究2【提示】

“作差法”的理论依据是实数的大小顺序与实数的运算性质之间的关系：“a＞b⇔a－b＞0，a＝b⇔a－b＝0，a＜b⇔a－b＜0”，其一般步骤为“作差→变形→判号→定论”．其中变形是作差法的关键，配方和因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或一个常数与几个平方和的形式，或几个因式的积的形式等．当所得的“差式”是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．作差法一般用于不等式的两边是多项式或分式．

例1 [精讲详析]

本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论．

(1)a2＋b2－2(a－b－1) ＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，

∴a2＋b2≥2(a－b－1)．

(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b) ＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b) ＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a) ＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab) ＝(b－a)(c－a)(c－b)，

∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0. ∴(b－a)(c－a)(c－b)<0. ∴bc2＋ca2＋ab2

因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0，

从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0 ，即2a3－b3≥2ab2－a2b. 例2 [精讲详析]

本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小．

∵a＞2，∴a－1>1. ∴loga(a－1)>0，log(a＋1)a＞0，

loga（a－1）由于

log（a＋1）a＝loga(a－1)·loga(a＋1) loga（a－1）＋loga（a＋1）<2

loga（a2－1）＝2. ∵a＞2，∴0

loga（a－1）即＜1.

log（a＋1）a∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a. a＋b变式练习2

证明：∵aabb>0，(ab)2>0，

22

a－bb－aa－baaabb2. ∴＝a2·b2＝ba＋b（ab）2a当a＝b时，显然有b2＝1. a－ba当a>b>0时，>1，>0. b2a－ba当b>a>0时，0<<1，<0. b2aa2>. 由指数函数的单调性，有bba－ba即b2>1. a＋b综上可知，对任意实数a、b，都有aabb≥(ab)2. 例3 [精讲详析]

本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t1、t2，然后利用作差法比较t1，t2的大小即可．

设从出发地点至指定地点的路程为s，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t1、t2，依题意有：

t1t1ssm＋n＝s，＋＝t2. 222m2ns（m＋n）2s∴t1＝，t2＝. 2mnm＋ns（m＋n）2s∴t1－t2＝－

2mnm＋n＝s[4mn－（m＋n）2]

2mn（m＋n）a－b0a－bs（m－n）2＝－. 2mn（m＋n）其中s，m，n都是正数，且m≠n，

∴t1－t2＜0，即t1＜t2. 从而知甲比乙先到达指定地点．

L变式练习3 证明：设截面的周长为L.依题意，截面是圆的水管的截面面积为π2π2，截面是正方形的水L管的截面面积为4. LLL2L2L2（4－π）∵π2π－＝>0，

44π－16＝16πLL∴π2π＞4，

∴原结论得证．

22222

2.1 比较法课后练习

1．已知a＞2，b＞2，则(

) A．ab≥a＋b

C．ab＞a＋b

2．已知a＞b＞－1，则A.C.11＞ a＋1b＋111≥ a＋1b＋1B．ab≤a＋bD.ab＜a＋b

11与的大小关系为(

) a＋1b＋1B.D.11＜

a＋1b＋111≤

a＋1b＋1[来源:学。科。网]

3．a，b都是正数，P＝A．P＞Q C．P≥Q

a＋b2，Q＝a＋b，则P，Q的大小关系是(

) B．P＜Q

D.P≤Q

4．下列四个数中最大的是(

) A．lg 2 C．(lg 2)

2B．lg2 D.lg(lg 2) [来源:学+科5．在等比数列{an}和等差数列{bn}中，a1＝b1>0，a3＝b3>0，a1≠a3，则a5与b5的大小关系是(

)A．a5

222+网]B．a5>b5

D.不确定

6．设P＝ab＋5，Q＝2ab－a－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________. 7．若x＜y＜0，M＝(x＋y)(x－y)，N＝(x－y)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．

8．已知a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，则1＋a与11－b的大小关系是________．

22229．已知a＞2，求证：loga(a－1)＜log(a＋1)a.

10．已知{an}是公比为q的等比数列，且a1，a3，a2成等差数列．

(1)求q的值；

(2)设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小，并说明理由．

参考答案

1．【解析】

∵a＞2，b＞2，∴－1＞0，－1＞0，

22ab

11则ab－(a＋b)＝ab－1＋ba－1＞0，

22∴ab＞a＋b. 【答案】

C 2.【解析】

∵a＞b＞－1，∴a＋1＞0，b＋1＞0，a－b＞0，

则1111ba－＝＜0，∴＜. a＋1b＋1(a1)(b1)a＋1b＋1【答案】

B 3.【解析】

∵a，b都是正数，

∴P＞0，Q＞0，

2∴P－Q＝22a＋b－(a＋b)2

22＝(ab)222≤0(当且仅当a＝b时取等号)，

∴P－Q≤0.∴P≤Q. [来源:学科网ZXXK]【答案】

D 4.【解析】

∵0＜lg 2＜1＜2＜2，

∴lg(lg 2)＜0＜lg 2＜lg 2，

且(lg 2)＜lg 2，故选A. 【答案】

A 5.【解析】

设{an}的公比为q，{bn}的公差为d，

则a5－b5＝a1q－(b1＋4d)＝a1q－(a1＋4d)．

∵a3＝b3，∴a1q＝b1＋2d，即a1q＝a1＋2d，

∴a1q＝(a1＋2d)＝a1＋4a1d＋4d，

2422222442a12q4a1(a14d)∴a5－b5＝

a14d＝a4a1d4da1(a14d)＝. a1a12122∵a1>0，d≠0，∴a5－b5>0，

∴a5>b5. 【答案】

B 6.【解析】

P－Q＝ab＋5－(2ab－a－4a) ＝ab＋5－2ab＋a＋4a

＝ab－2ab＋1＋4＋a＋4a

222222222

＝(ab－1)＋(a＋2). ∵P>Q，∴P－Q>0，

即(ab－1)＋(a＋2)>0，

∴ab≠1或a≠－2. 【答案】

ab≠1或a≠－2 7.【解析】

M－N＝(x＋y)(x－y)－(x－y)(x＋y) ＝(x－y)[(x＋y)－(x＋y)]＝－2xy(x－y)．

∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，

∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N. 【答案】

M＞N

8.【解析】

∵a＞0,1＞b＞0，a－b＞ab，

∴(1＋a)(1－b)＝1＋a－b－ab＞1. 从而1＋a＝(1a)(1b)＞1，

11－b∴1＋a＞【答案】

11－b. 11－b222222222221＋a＞

9.【证明】

∵a＞2，

则a－1＞1，

∴loga(a－1)＞0，log(a＋1)a＞0，[来源:学科网]

由于loga(a1)＝loga(a－1)·loga(a＋1) log(a1)aloga(a1)loga(a1)

＜2loga(a21)＝. 2∵a＞2，∴0＜loga(a－1)＜logaa＝2，

22222loga(a21)logaa∴＝1，

＜22因此22loga(a1)＜1. log(a1)a∵log(a＋1)a＞0，∴loga(a－1)＜log(a＋1)a. 10. 【解】

(1)由题设知2a3＝a1＋a2，

即2a1q＝a1＋a1q. 2

12又a1≠0，∴2q－q－1＝0，∴q＝1或－. 2n(n1)n＋3nn(n3)(2)若q＝1，则Sn＝2n＋＝＝. 222当n≥2时，Sn－bn＝Sn－1＝故Sn＞bn.

21n(n1)1－n＋9n(n9)n2(n1)(n2)＞0，

2若q＝－2，则Sn＝2n＋2·－2＝4＝当n≥2时，S10)n－bn＝Sn1)(nn－1＝－(4，

故对于n∈N＋，当2≤n≤9时，Sn＞bn；

当n＝10时，Sn＝bn；

当n≥11时，Sn＜bn. 4.