2.基本不等式名师教学实录

基本不等式及其应用教案

教学目的

(1)

使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式．

(2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力．

教学过程

一、引入新课

师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？

生：求差比较法，即

师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法．

如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？

生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．

师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法．

二、推导公式

1．奠基

师：如果a、b∈R，那么有(a－b)2≥0． ①

把①左边展开，得a2－2ab＋b2≥0，

∴a2＋b2≥2ab． ②

②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？

生：是a=b 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．

以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索．

2．探索

师：将公式②中用a替换a，用b替换b可以得到

ab222ab即ab2ab

所以abab

③

(当且仅当a=b时取“=”号)．

2

这就是课本中定理1的推论。

③式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．这是一个著名的基本不等式定理．要求同学掌握．

注：利用基本不等式的前提条件是：一、参与基本不等式的两个量为正数。二、参与基本不等式的两个量的积或和必须是定值。三、等号是否成绩决定了最值是否存在。简记：一正二定三相等

三、小结

(1)我们从公式①出发，运用综合法，得到许多不等式公式，其中要求同学熟练掌握的是公式②．

(2)上述公式的证法不止综合法一种．比如公式②，在课本上是用比较法证明的．但是不论哪种推导系统，其理论基础都是实数的平方是非负数．

两个公式中，②是基础，最重要．它们还可以用几何法或三角法证明．

几何法：构造直角三角形ABC，使∠C=90°，BC=a，AC=b(a、b∈R+)，则a2＋b2=c2表示以斜边c为边的正方形的面积．而

如上左图所示，显然有

(当且仅当a=b时取“=”号，这时Rt△ABC等腰，如上右图)．这个图是我国古代数学家赵爽证明勾股定理时所用过的“勾股方圆图”，同学们在初中已经见过．

三角法：在Rt△ABC中，令∠C=90°，

AB=c，

BC=a，AC=b，则

2ab=2·c sin A· c sin B=2c2sinAcos A=c2·sin2A≤c2

=a2＋b2 (∵sin2A≤1)

(当且仅当sin2A=1，A=45°，即

a=b时取“=”号)．

三、应用公式练习

1、若f(x)=x+

,则f(x)的最小值为2吗? 2、已知a，b，c为正实数，

a＋bb＋cc＋a求证：(1)≥8. abc(2)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 3、若a、b∈R＋，且a＋b＝1，

11求证：1＋a1＋b≥9. 194、已知x＞0，y＞0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy5、已知x>0，y>0，且x＋2y＋xy＝30，求xy的最大值. 6、已知x>0，y>0，且x＋2y=xy，求x+y的最小值. 17、函数y＝x＋(x≠1)的值域是________．

x－1