2.基本不等式教学设计与反思

1.1.2 基本不等式

一、教学目标

1．掌握两个正数的算术平均数与几何平均数．

2．理解定理1和定理2(基本不等式)．

3．掌握用基本不等式证明不等式，求一些函数的最值以及实际的应用问题．

二、课时安排

1课时

三、教学重点

理解定理1和定理2(基本不等式)．

四、教学难点

掌握用基本不等式证明不等式，求一些函数的最值及实际的应用问题．

五、教学过程

（一）复习不等式与绝对值不等式的知识构建

（二）高频考点讲解

考点一：不等式基本性质的应用

本专题主要考查利用不等式性质判断不等式或有关结论是否成立，再就是利用不等式性质，进行数值(或代数式)大小的比较，有时考查分类讨论思想，常与函数、数列等知识综合进行考查．

例1.若a、b是任意实数，且a＞b，则(

)

1a1baA．a2＞b2

B.＜1

C．lg(a－b)＞0

D.2＜2

b[解析]

结合不等式性质和函数的性质(单调性)来比较大小，或用特殊值法判断．

a＞b并不能保证a、b均为正数，从而不能保证A、B成立．又a＞b,a－b＞0，但不1能保证a－b＞1，从而不能保证C成立．显然只有D成立．事实上，指数函数y＝2x1a1b是减函数，所以a＞b,2＜2成立

考点二：基本不等式的应用

1．证明不等式

不等式的证明方法很多，关键是从式子的结构入手分析，运用基本不等式证明不等式时，要注意成立的条件，同时熟记一些变形形式，放缩的尺度要把握好．

111＋·例2.已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1，求证：x1＋y≥9. 例3.若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 1119求证：＋＋≥. a＋bb＋cc＋a22．求函数的最值

在利用基本不等式求函数最值时，一定要满足下列三个条件：①x、y为正数．②“和”或“积”为定值．③等号一定能取到，这三个条件缺一不可．

1例4.已知0＜x＜，求函数y＝x(1－3x)的最大值．

3

1＋cos 2x＋8sin2xπ例5.当0

) 2sin 2xA．2

B．2 3 C．4

D．4 3 [解析]

利用二倍角公式和同角三角函数关系，将函数式转化变形，再用基本不等式求解．

2cos2x＋8sin2x1f(x)＝＝＋4tan x. 2sin xcos xtan xπ0，，∴tan x>0. ∵x∈21故f(x)＝＋4tan x≥2 tan x3．解决实际问题

由于受算术平均与几何平均定理求最值的约束条件的限制，在求最值时常常需要对解析式进行合理的变形．对于一些分式结构的函数，当分子中变量的次数不小于分母中11·4tan x＝4，当且仅当tan x＝时等号成立，故选C. tan x2

a变量的次数时，通常采用分离变量(或常数)的方法，拼凑出类似函数y＝x＋的结构，x然后用基本不等式(符合条件)或单调性求最值．这种变形的技巧经过适当的强化训练，是可以较容易掌握的．

例6.某游泳馆出售冬游泳卡，每张240元，其使用规定：不记名，每卡每次只限一人，每天只限一次．某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还需包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元．

若使每个同学游8次，每人最少应交多少元钱？

[解]

设买x张游泳卡，总开支为y元，则

(1)每批去x名同学，共需去48×8批，

x总开支又分为：①买卡所需费用240x，

48×848×864x＋②包车所需费用×40.∴y＝240x＋×40(0＜x≤48，x∈Z)．∴y＝240xxx≥240×2 x×64＝3 840，

x64当且仅当x＝，即x＝8时取等号．

x3 840故每人最少应交＝80(元)．

48六、随堂练习：

1．下列结论中不正确的是(

) 1baA．a＞0时，a＋≥2

B.＋≥2

aaba＋b2C．a＋b≥2ab

D.a＋b≥

222222．下列各式中，最小值等于2的是(

) x2＋5xyA.＋

B.2

yxx＋41－C．tan θ＋

D.2x＋2x

tan θ3.在例六中若使每个同学游4次，其他条件不变，每人最少应交多少元钱？

48×4[解析]：设：每批去x名同学，共需去批，

x总开支又分为：①买卡所需费用240x，②包车所需费用×40(0＜x≤48，x∈Z)．

32x＋≥240×2 ∴y＝240xx×32＝1 9202，

x48×448×4×40.∴y＝240x＋xx

当且仅当x＝32，即x＝42时取等号．但0＜x≤48，x∈Z，又当x1＝5时，y1＝x32325＋＝2 73当x2＝6时，y2＝240×6＋＝2 720. 240×56∵y1＞y2，∴当x＝6时，y有最小值，即ymin＝2 720. 2 720

故每人最少应交≈56.67(元). 48*注意等号成立的条件（一正，二定，三相等要掌握，还应注意要符合实际情况！）

七、课堂小结

—证明不等式—求最值—实际应用—定理的理解证明。

1、在利用基本不等式证明不等式时首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行2、当且仅当a＝b时，不等式中“等号”成立，若式子中有“＝”号取不到，则无法求到最值。

3、等号成立的条件不只靠一正，二定，三相等。还有要符合实际！

八、课外练习（下节讲解绝对值不等式的解法）

(1)|x－x2－2|＞x2－3x－4；

(2)|x＋1|＞|x－3|；

(3)|x2－2|x|－2|≤1；

(4)|x－2|－|2x＋5|＞2x；

(5)|2x－1|＜|x|＋1.