2.基本不等式教学设计(第一课时)

1.1.2 基本不等式

预习案

一、预习目标及范围

1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．

2．理解定理1和定理2(基本不等式)．

3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．

二、预习要点

教材整理1

两个定理及算数平均与几何平均

1．两个定理

定理

定理1

Z+X+X+K]内容

a2＋b2≥

(a，b∈R)

等号成立的条件

当且仅当

时，等号成立

[来源学+科+网定理2

a＋b≥

(a，b＞0)

2当且仅当

时，等号成立

2.算术平均与几何平均

如果a，b都是正数，我们称

为a，b的算术平均，

为a，b的几何平均．

教材整理2

利用基本不等式求最值[来源:Zxxk.Com]

已知x，y为正数，x＋y＝S，xy＝P，则

(1)如果P是

，那么当且仅当

时，S取得最小值

；

(2)如果S是

，那么当且仅当x＝y时，P取得最大值

. 三、预习检测

1．下列不等式中，正确的个数是(

) a＋b①若a，b∈R，则≥ab；

21②若x∈R，则x2＋2＋2≥2；

x＋2③若x∈R，则x2＋1＋1≥2；x＋12[来源学科网]

④若a，b为正实数，则a＋b≥ab. 2A．0

B．1

C．2

D.3 122．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－2的最大值是________，取得最值时x的值是________. x

3．已知a，b是正数，求证：

(1)a2＋b2a＋b≥；

222(2)ab≥. 11＋ab探究案

一、合作探究

题型一、利用基本不等式证明不等式

a2b2c2例1已知a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c. bca【精彩点拨】

观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系．

[再练一题]

xyz1111．已知x，y，z均为正数，求证：＋＋≥＋＋. yzzxxyxyz

题型二、利用基本不等式求最值

y2例2设x，y，z均是正数，x－2y＋3z＝0，则的最小值为________．

xzy2【精彩点拨】

由条件表示y，代入到中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，xz求出最小值，但要注意等号取到的条件．

[再练一题] 192．已知x>0，y>0，且＋＝1，试求x＋y的最小值. xy

题型三、基本不等式的实际应用

例3某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2016年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．

(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y(万元)表示为促销

费t(万元)的函数；

(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？

【精彩点拨】

(1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；

(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．

[再练一题] 3．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a m，高度为b m，已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积ab成反比，现有制箱材料60 m2，问当a，b各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)?

题型四、基本不等式的理解与判定

π110，，tan 例4命题：①任意x>0，lg

x＋≥2；②任意x∈R，ax＋x≥2；③任意x∈2lg xa11x＋≥2；④任意x∈R，sin x＋≥2.

tan xsin x其中真命题有(

) A．③

B．③④

C．②③

D.①②③④

【精彩点拨】

按基本不等式成立的条件进行判定．

[再练一题] 4．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(

) A．a2＋b2>2ab

B．a＋b≥2ab

112baC.＋>

D.＋≥2

ababab

二、随堂检测[来源:Z*xx*k.Com]

1．下列结论中不正确的是(

)

1baA．a＞0时，a＋≥2

B.＋≥2

aaba＋b2C．a＋b≥2ab

D.a＋b≥

22222【解析】

选项A，C显然正确；选项D中，2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab≥0，∴a＋b2baa＋b≥成立；而选项B中，＋≥2不成立，因为若ab＜0，则不满足不等式成立的2ab22条件．

【答案】

B 2．下列各式中，最小值等于2的是(

) x2＋5xyA.＋

B.2

yxx＋41－C．tan θ＋

D.2x＋2x

tan θ【解析】

∵2x＞0,2x＞0，∴2x＋2x≥22x·2x＝2，当且仅当2x＝2x，即x＝0时，－－－－等号成立．故选D. 【答案】

D 533．已知＋＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是(

) xyA．15

B．6

C．60

D.1 53【解析】

∵＋≥2xy∴215(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，

xy15≤1，∴xy≥60，

xy故xy的最小值为60. 【答案】

C