二 综合法与分析法教学目标

综合法和分析法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：

1．综合法

(1)定义：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法，综合法又叫顺推证法或由因导果法．

(2)特点：由因导果，即从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”．

(3)证明的框图表示：

用P表示已知条件或已有的不等式，用Q表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为

P⇒Q1→Q1⇒Q2→Q2⇒Q3→……→Qn⇒Q

2．分析法

(1)定义：证明题时，常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种“执果索因”的思考和证明方法．

(2)特点：执果索因，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”．

(3)证明过程的框图表示：

用Q表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q⇐P1→P1⇐P2→P1⇐P3→……→得到一个明显成立的条件

[例1]

已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求证：

1＋1·1＋1≥9. xy[思路点拨]

可将所证不等式左边展开，运用已知和基本不等式可得证，也可以用x＋y取代“1”，化简左边，然后再用基本不等式．

[证明]

法一：∵x>0，y>0，∴1＝x＋y≥2xy. 1∴xy≤. 4111111＋1＋＝1＋＋＋

∴xyxyxyx＋y12＝1＋＋＝1＋≥1＋8＝9. xyxyxy

1当且仅当x＝y＝时等号成立．

2法二：∵x＋y＝1，x>0，y>0，

11x＋yx＋y1＋1＋＝1＋∴

1＋xyxyyxyx2＋2＋＝5＋2＋≥5＋2×2＝9. ＝xyxy1当且仅当x＝y＝时，

等号成立．

2综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键．

1．已知a，b，c∈R＋，证明不明式：

a＋b＋c≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时取等号．

证明：因为a>0，b>0，c>0，故有

a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时取等号；

b＋c≥2bc，当且仅当b＝c时取等号；

c＋a≥2ca，当且仅当c＝a时取等号．

三式分边相加，得a＋b＋c≥ab＋bc＋ca.当且仅当a＝b＝c时取等号．

2．已知a，b，c都是实数，求证：

1a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 3证明：∵a，b，c∈R，

∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc. c2＋a2≥2ca

将以上三个不等式相加得：

2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)①

即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.②

在不等式①的两边同时加上“a2＋b2＋c2”得：

3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2

1即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③

3在不等式②的两端同时加上2(ab＋bc＋ca)得：

(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca) 1即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④

3

1由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.

311[例2]

已知x>0，y>0，求证(x2＋y2)>(x3＋y3). 23[思路点拨]

不等式两边是根式，可等价变形后再证明．分析每一步成立的充分条件．

11[证明]

要证明(x2＋y2)>(x3＋y3)，

23只需证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2. 即证x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6. 即证3x4y2＋3x2y4>2x3y3. ∵x>0，y>0，∴x2y2>0. 即证3x2＋3y2>2xy. ∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy. ∴3x2＋3y2>2xy成立．

11∴(x2＋y2)>(x3＋y3). 23(1)当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．

(2)分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆．

3．求证：3＋7<25. 证明：分析法：

∵3＋7>0,25>0，∴要证

3＋7<25. ∴只需证明：(3＋7)2<(25)2. 展开得：10＋221<20. 即证221<10，

即证21<25(显然成立)．

∴3＋7<25. 4．a，b∈R＋，且2c>a＋b. 求证：c－c2－ab

证明：要证c－c2－ab

只需证－c2－ab

即证：|a－c|

两边平方得a2－2ac＋c2

也即证a2＋ab<2ac，即a(a＋b)<2ac. ∵a，b∈R＋，且a＋b<2c，∴a(a＋b)<2ac显然成立．

∴原不等式成立. [例3]

设a>0，b>0，且a＋b＝1，求证：a＋1＋b＋1≤6. [思路点拨]

所证不等式含有开方运算且两边都为正数，可考虑两边平方，用分析法转化为一个不含开方运算的不等式，再用综合法证明．

[证明]

要证：a＋1＋b＋1≤6，

只需证(a＋1＋b＋c)2≤6，

即证(a＋b)＋2＋2ab＋a＋b＋1≤6. 3由a＋b＝1得只需证ab＋2≤，

21即证：ab≤. 4由a0，a＋b＝1，

得ab≤a＋b211＝，即ab≤成立．

424∴原不等式成立．

(1)通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明．

(2)有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．

5．已知a，b，c都是正数，

求证：2a＋ba＋b＋c3－ab≤3. －abc23a＋ba＋b＋c3－ab≤3，

－abc23证明：法一：要证23只需证a＋b－2ab≤a＋b＋c－3abc，

33即－2ab≤c－3abc.移项，得c＋2ab≥3abc. 3由a，b，c为正数，得c＋2ab＝c＋ab＋ab≥3abc成立．

∴原不等式成立．

法二：∵a，b，c是正数，

33∴c＋ab＋ab≥3cab·ab＝3abc. 3即c＋2ab≥3abc.

3故－2ab≤c－3abc. 3∴a＋b－2ab≤a＋b＋c－3abc. ∴2a＋b－ab≤3a＋b＋c3. 23－abc小结：综合法是从已知的P出发，得到一系列的结论Q1,Q2,，直到最后的结论是Q.

运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 分析法由要证明的结论Q思考，一步步探求得到Q所需要的已知P直到所有1,P2,，的已知P都成立；