2.基本不等式公开课教案

课题: §3.4基本不等式abab2

授课类型：新授课

【教学目标】

1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；

2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；

3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣

【教学重点】

应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式过程；

【教学难点】

基本不等式abab2abab2的证明等号成立条件

【教学过程】

1.课题导入

基本不等式abab2的几何背景：

如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一个风车，代表中国人民热情好客。你能在这个图案中找出一些相等关系或不等关系吗？

教师引导学生从面积的关系去找相等关系或不等关系。

2.讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为a2a2b2。这样，4个b2。由于4个直角三角形的2面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：ab22ab。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有a2b22ab。

R,那么a22．得到结论：一般的，如果a,bb22ab(当且仅当ab时取""号)

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

a2b22ab(ab)2

当

ab时,(ab)20,当ab时,(ab)220,

abab2所以，(ab)0，即(a2b)2ab.24．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

ab特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得a通常我们把上式写作：abab2(a>0,b>0)b2，

ab2

2）从不等式的性质推导基本不等式用分析法证明：

ab

ab2要证

ab (1) 只要证

a+b (2) 要证（2），只要证 a+b- 0 （3）

要证（3），只要证 （ - ） （4）

2显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式abab2的几何意义

探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝ababab2的几何解释吗？

. ab2这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即ab2ab，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 因此：基本不等式评述：1.如果把abab2几何意义是“半径不小于半弦”

abab2看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项. 2.在数学中，我们称ab2为a、b的算术平均数，称ab为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.

[补充例题] 例1 已知x、y都是正数，求证：

(1)yxxy≥2；

(2)（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 分析：在运用定理：ab2ab时，注意条件a、b均为正数，结合不等式的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形. 解：∵x，y都是正数 ∴xy＞0，yx＞0，x2＞0，y2＞0，x3＞0，y3＞0 (1)xyyx2xyyx＝2即xyyx≥2. 22(2)x＋y≥22xy33xy＞0 x2＋y2≥2xy＞0 x3＋y3≥＞0 xy∴（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥2·2xy22·2xy33＝８x3y3

即（x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥８x3y3. 3.随堂练习

1.已知a、b、c都是正数，求证

（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc

分析：对于此类题目，选择定理：可求得结果. 解：∵a，b，c都是正数

∴a＋b≥2abab2ab（a＞0，b＞0）灵活变形，＞0 ＞0 ＞0 abb＋c≥2c＋a≥2bcac∴（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥2·2bc·2ac＝８abc

即（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc.

4.课时小结

本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ab2），几何平均数（ab）及它们的关系（ab2≥ab）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等

式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将学习它们的应用).我们还可以用它们下面的等价变形来解决问题：ab≤

a2b22，ab≤（ab2）2.