2.基本不等式教学设计第二课时

基本不等式

1．基本不等式的定理1,2 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．

a＋b定理2：如果a，b＞0，那么≥ab，而且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的2算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均．

2．基本不等式的理解

a＋b重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式≥ab，成立的条件是不同的．前者成立的2条件是

a与b都为实数，并且a与b都为实数是不等式成立的充要条件；而后者成立的条件是a与b都为正实数，并且a与b都为正实数是不等式成立的充分不必要条件，如a＝0，b≥0仍然能使a＋b≥ab成立．

2两个不等式中等号成立的充要条件都是a＝b. 3．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式

a＋b2(1)a＋b≥；

222a2＋b2(2)ab≤；

2a＋b2(3)ab≤2；

a＋b2a＋b(4)2≤2；

(5)(a＋b)2≥4ab.

[例1]

已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1. 111求证：a＋b＋c≥9. [思路点拨]

解答本题可先利用1进行代换，再用基本不等式来证明．

[证明]

法一：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

111a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c∴a＋b＋c＝a＋b＋c

bcacab＝3＋a＋a＋b＋b＋c＋c

bacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111即a＋b＋c≥9. 22

法二：∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，

111111∴a＋b＋c＝(a＋b＋c)a＋b＋c

bcacab＝1＋a＋a＋b＋1＋b＋c＋c＋1 bacacb＝3＋a＋b＋a＋c＋b＋c

≥3＋2＋2＋2＝9.当且仅当a＝b＝c时，等号成立．

111∴a＋b＋c≥9.

用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．

练习：

1．已知a，b，c，d都是正数，求证：(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 证明：因为a，b，c，d都是正数，

ab＋cdac＋bd所以≥ab·cd＞0，≥ac·bd＞0，

22ab＋cdac＋bd所以≥abcd，

4即(ab＋cd)(ac＋bd)≥4abcd. 当且仅当ab＝cd，ac＝bd，即a＝d，b＝c时，等号成立．

2．已知a，b，c为正实数，

a＋bb＋cc＋a求证：(1)≥8；

abc(2)a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 证明：(1)∵a，b，c为正实数，

∴a＋b≥2ab>0，

b＋c≥2bc>0，

c＋a≥2ca>0，

由上面三式相乘可得

(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8ab·bc·ca＝8abc. 即a＋bb＋cc＋a≥8. abc(2)∵a，b，c为正实数，

∴a＋b≥2ab，b＋c≥2bc，c＋a≥2ca，

由上面三式相加可得

(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)≥2ab＋2bc＋2ca. 即a＋b＋c≥ab＋bc＋ca. 2x[例2]

(1)当x>0时，求f(x)＝2的值域；

x＋13(2)设0

219(3)已知x>0，y>0，且＋＝1，求x＋y的最小值．

xy[思路点拨]

根据题设条件，合理变形，创造能用基本不等式的条件，求最值．

[解]

(1)∵x>0，

∴f(x)＝2x2＝. 21x＋1x＋x1∵x＋x≥2，

11∴0<≤. 12x＋x∴0

即f(x)的值域为(0,1]．

3(2)∵00. 2∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]

2x＋3－2x29≤22＝2. 3当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立．

49∴y＝4x(3－2x)的最大值为. 219(3)∵x>0，y>0，x＋y＝1，

19y9x＋∴x＋y＝(x＋y)＝xyx＋y＋10≥6＋10＝16. y9x19当且仅当x＝y，又x＋y＝1，

即x＝4，y＝12时，上式取等号．

故当x＝4，y＝12时，有(x＋y)min＝16.

在应用基本不等式求最值时，

分以下三步进行：

(1)首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；

(2)其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正；

(3)利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．

113．已知x，y∈(0，＋∞)，且log2x＋log2y＝2，则x＋y的最小值是(

) A．4

C．2

B．3 D．1 11x＋y2xy2解析：选D

＋＝≥＝，

xyxyxyxy当且仅当x＝y时取等号．

∵log2x＋log2y＝log2(xy)＝2，∴xy＝4. 112∴＋≥＝1，当且仅当x＝y＝2时取等号，

xyxy11故x＋y的最小值为1. 114．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝2,2a＋b＝8，则x＋y的最大值为(

) A．2

C．4

B．3 D．log23 解析：选B

由ax＝by＝2得x＝loga2，y＝logb2，

1111∴＋＝＋＝log2a＋log2b＝log2(ab)．

xyloga2logb2又a>1，b>1，

∴8＝2a＋b≥22ab，即ab≤8，

当且仅当2a＝b，

即a＝2，b＝4时取等号，

11所以x＋y＝log2(ab)≤log28＝3. 11故x＋ymax＝3. [例3]

某学校为了支持生物课程基地研究植物生长，计划利用学校空地建造一间室内面积为900 m2的矩形温室，在温室内划出三块全等的矩形区域，分别种植三种植物，相邻矩形区域之间间隔1 m，三块矩形区域的前、后与内墙各保留1 m宽的通道，左、右两块矩形区域分别与相邻的左右内墙保留3 m宽的通道，如图．设矩形温室的室内长为x(单位：m)，三块种植植物的矩形区域的总面积为S(单位：m2)．

(1)求S关于x的函数关系式；

(2)求S的最大值．

9007 200－2＝－2x－[解]

(1)由题设，得S＝(x－8)＋916，x∈(8,450)．

xx(2)因为8

7 200所以2x＋x≥2 7 2002x·x＝240，

当且仅当x＝60时等号成立，从而S≤676. 故当矩形温室的室内长为60 m时，三块种植植物的矩形区域的总面积最大，最大为676 m2.

利用基本不等式解决实际应用问题的步骤

(1)仔细阅读题目，弄清基本要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；

(2)分析题目中给出的条件，建立y的函数表达式y＝f(x)(x一般为题目中最后所要求的量)；

(3)利用基本不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x的范围制约．

5．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每x次进货x件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均件货2储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x应是多少？

解：设一年的运费和库存费共y元，

25×10x50 000由题意知y＝x×50＋×20＝x＋10x≥2

25×106＝104，

225×105当且仅当x＝10x即x＝500时，ymin＝10 000，

即每次进货500件时，一年的运费和库存费最省．

6.围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m，设利用的旧墙的长度为x(单位：元)．

5

(1)将y表示为x的函数；

(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．

解：(1)设矩形的另一边长为a m. 则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360. 360由已知xa＝360，得a＝，

x3602所以y＝225x＋－360(x＞0)．

x(2)∵x>0，

3602∴225x＋x≥2225×3602＝10 800. 3602∴y＝225x＋x－360≥10 440，

3602当且仅当225x＝时，等号成立．

x即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．

课后练习：

1．下列不等式中，正确的个数是(

) ①若a，b∈R，则a＋b≥ab；

21②若x∈R，则x2＋2＋2≥2；

x＋21③若x∈R，则x2＋1＋2≥2；

x＋1④若a，b为正实数，则a＋b≥ab. 2B．1 D．3 11无解，但x2＋2＋2>2x＋2x＋22A．0

C．2

解析：选C

显然①不正确；③正确；对于②，虽然x2＋2＝成立，故②正确；

④不正确，如a＝1，b＝4. 2．设正实数a，b满足a＋b＝1，则(

) 11A.a＋b有最大值4

C.a＋b有最大值2

1B.ab有最小值

2D．a2＋b2有最小值2

2解析：选C

由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2ab，当且仅当a＝b时，等

1111a＋b111号成立，∴ab≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值为4，a2＋b2＝(a＋abab24abab11b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝1＋2ab≤1＋1＝2，所以a＋b22有最大值2，故选C. 3．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是(

) A．3

9C.

2B．4 11D.

2x＋2y2解析：选B

由题意得x＋2y＝8－x·2y≥8－2，当且仅当x＝2y时，等号成立，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，所以x＋2y≥4，故选B. 4．某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站(

) A．5千米处

C．3千米处

B．4千米处

D．2千米处

20解析：选A

由已知可得y1＝x，y2＝0.8x(x为仓库到车站的距离)，所以费用之和y＝20y1＋y2＝0.8x＋x≥2 当且仅当0.8x＝200.8x·x＝8. 20，即x＝5时等号成立．

x12的最大值是________，取得最大值时x的值是________．

x25．若x≠0，则f(x)＝2－3x2－4x2＋2≤2－3×4＝－10，

解析：f(x)＝2－3x4当且仅当x2＝2即x＝±2时取等号．

x答案：－10

±2 6．若a＞0，b＞0，a＋b＝2，则下列不等式对一切满足条件的a，b恒成立的是________．(填序号) ①ab≤1；②

a＋b≤2；③a2＋b2≥2；

11④a3＋b3≥3；⑤a＋b≥2. a＋b2解析：两个正数，和定，积有最大值，即ab≤＝1，当且仅当a＝b时取等号，4故①正确；

(a＋b)2＝a＋b＋2ab＝2＋2ab≤4，当且仅当a＝b时取等号，得

a＋b≤2，故②错误；

a2＋b2a＋b2由于≥＝1，故a2＋b2≥2成立，故③正确；

24a3＋b3＝(a＋b)(a2＋b2－ab)＝2(a2＋b2－ab)，∵ab≤1，∴－ab≥－1，又a2＋b2≥2，∴a2＋b2－ab≥1，∴a3＋b3≥2，故④错误；

ab1111a＋b＋＋＝·＝1＋＋≥1＋1＝2，当且仅当a＝b时取等号，故⑤成立．

abab22b2a答案：①③⑤

πp10，，7．对于x∈不等式≥16恒成立，则正数p的取值范围为________．

2＋2sinxcos2x解析：令t＝sin2x，则cos2x＝1－t. π0，，∴t∈(0,1)．

又x∈2不等式1p12＋2≥16可化为p≥16－(1－t)．

tsinxcosx111·16t＝9，当＝16t，即t＝时取等号，

tt41116－t(1－t)＝17－t＋16t≤17－2而y＝因此若原不等式恒成立，只需p≥9. 答案：[9，＋∞) 8．已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求证：

111(1)a＋b＋ab≥8；

111＋a1＋b≥9. (2)证明：(1)∵a＋b＝1，a＞0，b＞0，

11111a＋b∴a＋b＋ab＝a＋b＋ab

11＝2a＋b

a＋ba＋b＝2a＋b

ba＝2a＋b＋4 ≥4 ba1·＋4＝8(当且仅当a＝b＝时，等号成立)，

ab2111∴a＋b＋ab≥8. 111111＋a1＋b＝＋＋＋1，

(2)∵abab

111111＋1＋≥9. 由(1)知＋＋≥8.∴ababab9．已知x>0，y>0，且2x＋5y＝20. (1)求u＝lg x＋lg y的最大值；

11(2)求x＋y的最小值．

解：(1)∵x>0，y>0，

∴由基本不等式，得2x＋5y≥210xy. ∵2x＋5y＝20，∴210xy≤20，即xy≤10，当且仅当2x＝5y时等号成立．因此有2x＋5y＝20，x＝5，解得

2x＝5y，y＝2，

此时xy有最大值10. ∴u＝lg x＋lg y＝lg(xy)≤lg 10＝1. ∴当x＝5，y＝2时，u＝lg x＋lg y有最大值1. 112x＋5y1115y2x1＋7＋＋(2)∵x>0，y>0，∴＋＝·＝≥xy207＋2 xyxy20207＋210，

205y2x当且仅当x＝y时等号成立．

5y2x＝x·y由5y2xx＝y，2x＋5y＝20，

1010－20x＝，3解得20－410y＝.3

7＋21011∴x＋y的最小值为. 2010．某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000 m2，人行道的宽分别为4 m和10 m(如图所示)．

(1)若设休闲区的长和宽的比析式；

(2)要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1的长和宽应如何设计？

解：(1)设休闲区的宽为a m，则其长为ax m，

A1B1＝x，求公园ABCD所占面积S关于x的函数S(x)的解B1C1

2010由a2x＝4 000，得a＝. x则S(x)＝(a＋8)(ax＋20)＝a2x＋(8x＋20)a＋160 2010＝4 000＋(8x＋20)·＋160 x＝80102 x＋5＋4 160(x>1)．

x552x·＋4 160＝1 600＋4 160＝5 760.当且仅当2 x＝xx(2)由(1)知，S≥8010×2即x＝2.5时取等号，此时a＝40，ax＝100.所以要使公园所占面积最小，休闲区A1B1C1D1应设计为长100 m，宽40 m.