正投影教案设计（一等奖）

29.1

投影(第二课时)——正投影的性质

一、教学目标

知识与技能：

1、进一步理解正投影的概念；

2、能根据正投影的性质画出简单平面图形的正投影。

过程与方法：

1、在探究物体与其正投影关系的活动中，体会立体图形与平面图形的相互转化关系，培养学生的动手实践能力，发展学生的空间观念。

2、通过探究生活中有关正投影的数学问题，提高数学的应用意识。

情感态度与价值观：

通过学习，鼓励学生敢于发表自己的想法，通过积极参与数学活动，增强学习数学的兴趣和信心。

二、学习重点、难点：

重点——归纳正投影的性质

难点——面的正投影的性质，正确画出简单平面图形的正投影。

三、学具准备：铅笔、正方形纸板、泡沫塑料、竹签、作图工具。

教学辅助：多媒体

四、教学过程: （一）提出问题

上一节课，我们探索了投影线的变化对投影的影响。今天我们接着该研究什么？

目的：让学生有提出研究问题的机会，加强知识之间的联系，逐

步学会研究问题。

为解决问题，学生会自动回忆上节课的内容。教师亦可顺势让学生回顾投影线的变化对投影的影响。

这样，自然而然的复习了投影的分类，教师还可以追问分类的依据以及彼此的区别和联系。出示课件展示结果。

投影线的变化

中心投影

平行投影

正投影

斜投影

回到原来的问题“今天研究什么问题？”

回忆至此，学生的思维可能还是跟不上，毕竟他们对于，多种要素构成对象的研究方法不熟悉。若是如此，教师可以引导学生进一步回顾投影的要素。

投影的三要素呈现在课件中：

投影线的变化

投影物体

投影面

中心投影

平行投影

正投影

斜投影

提出“除了投影线的变化会对投影的影响以外，还有什么？”

现在，再让学生提出问题，学生应该有两种想法“研究投影物体的变化对投影的影响”或是“研究投影面的变化对投影的影响”。从中，选出今天的研究方向，即第一个。

设计意图：这样来提出一节课的问题，比较自然恰当。学生从中感受到的是，问题的来源；感受到的是，所研究的问题是前面所研究

问题的延续；感受到的是，怎样研究“投影”——分别研究它的组成要素。学生学习到的不仅是数学知识，还有研究问题的方法，还有知识所承载的思想等等。教学的立意，更多的是心里想着“教人”，而不仅是“教书”。教学生“学会思考”——这是数学教学的终极目的。

物体的变化是研究的主要内容，那么对于另外两个要素的处理方式，也应让学生有所考量。

可以追问：当物体的改变时，投影线，投影面你又怎样处理？说出你的理由。（这是一个“怎样研究的”问题，关注的是研究方法。）

等待他们的思考，为了方便研究，学生会提出，动静结合，将它们固定。

教学中，教师切忌着急。着急，就会去“替代”。教的悲哀是替代，学的悲哀是依赖！

本阶段的任务：在解决新问题的过程中进行复习，加强了知识之间的联系性，也让学生掌握研究多个对象的方法。互相联系的三个对象，在研究它们变动时所产生的结果，应该固定其中的两个，研究另一个在变动时对结果的影响。把方法论蕴涵于提出问题、解决问题的过程中。

（二）确定方案

师：我们该怎样研究投影物体的变化对投影的影响，这一问题呢？

直接回答，若学生感觉毫无头绪，教师可以可适当引导，比如，将其分解，帮助学生思考。

子问题1：可以从哪些方面来研究物体的变化？

形状，大小，位置，这三个方面应该是学生能够想到的。

子问题2：你会选择哪些研究对象？请你设计一个研究顺序，找出相应的代表图形，并阐明理由。

多个学生的举例，三个维度的图形，都有可能被提到。重点关注他们解决问题背后的思考。

学生可能说出的研究顺序大致有：

三角形----正方形-----长方体

正三角形----正方形-----长方形

或者，线段----正三角形-----正方体····

设计的理由，以生活中常见，图形简单，性质特殊，便于观察等等居多。

教师可以把学生列举的设计顺序，简要的写在黑板上。

极少会有学生想到，按平面图形到立体图形或从维度的角度设计顺序，若有，则引导学生自己解说它的合理性；若无，为挖掘学生思维过程，教师可以进行追问。

问：这些设计顺序有一些共同之处，都是分类、分步研究的，分成了几类？分类的依据是什么？

平面，立体是学生能发现的，其实本质是维度的划分。把学生的答案呈现出来。

三角形

----

正方形

-----

长方体

正三角形----正方形-----长方形

线段-

---

正三角形-----

正方体····

平面图形

立体图形

问：大家列举了一些平面图形，若让你从中挑选一个，基本的代表图形进行观察、实验，你选谁？说明你的理由。

三角形或是线段，理由是它们的组成最简单。

师：大家从图形的组成，即构成要素的角度，确定了平面图形的研究对象——线段。若按此思路，立体图形的构成要素又是什么？研究对象又选谁为代表？说明你的理由。

三角形

----

正方形

-----

长方体

正三角形----正方形-----长方形

线段

----

正三角形-----

正方体····

平面图形

立体图形

构成要素：

线段

？

借助知识积累，学生应能想到立体图形的组成要素——面，研究对象选择正方体的较多。

三角形

----

正方形

-----

长方体

正三角形----正方形-----长方形

线段

----

正三角形-----

正方体····

平面图形

立体图形

构成要素：

线

面

再进行一定的归纳、总结，就可能得出

“从构成要素的角度”获得的研究顺序，线——面——体。

问渠那得清如许？为有源头活水来。

设计意图：数学教学的本质是数学思维的过程。

力求展现学生自然的思维过程是数学教学的要义。教师的教学设计是问题的设计，是学生学习活动的设计，是学生学习过程的设计。

在教学过程中，教师要始终注意自己所扮演的角色。不要总是想着怎样去陈述、去解释、去告诉；要想一想，怎样去设问、去启发、去引导。

对于线段这一研究起点，教师还可以引导学生继续思考：“有没有比线段更基本的图形？”

“你是怎么想到？”让他们自己主动继续沿着构成的脉络思考。

最终确定完整的研究顺序：点--线--面--体。（板书呈现）

本阶段的任务：让学生经历研究计划的制定，确定研究对象，为下面观察方案的提出做准备。核心是设置好问题。

（三）探索实验

教师：我们依照确定的顺序——点--线--面--体，分别研究相应代表图形的正投影，这也是今天要学习的内容。（板书课题——正投影规律）

（1）初步体验——从点开始。选一个点，平行光线从上往下垂直照射到水平面上，得到的正投影是什么？

结合生活经验，投影是点，这个认识会很快得出。

（2）进一步挑战

——

换点为线。在投影面，投影线都不变的情况下，将点换成一条线段（出示教具），它的正投影又该是怎样的？

你怎样研究？

教师先不指明方向，让学生尝试说出自己的想法。若无结果，教师再给出必要的启发、引导。

子问题：哪些因素会影响线段的正投影？

既然是线段，形状已然确定，因素只剩下长短（大小）、位置。（板书：影响线段的正投影的要素——大小，位置）

师：上节课我们已经接触到，多种要素组成对象的研究方法。先固定某些要素，再让其它要素变动，研究变化产生的影响。利用这种方法，你拟出一个研究方案。

经历一次思维训练，应该得出两种结果。

位置不变，大小变化或是大小不变，位置变化。

师：前者根据生活经验，我们已经有了一定的认识。今天我们重点研究，线段位置的变化，对投影结果的影响。（可把这一问题显示在黑板上）

确定了研究方案，接下来就是发现性质的过程。

教师：下面通过小组合作，利用所给的学具（竹签，铅笔，塑料泡沫），模拟正投影的光照过程，探索线段位置变化，获得投影结果。出示实验工具：竹签——模拟平行光线

塑料泡沫板——模拟水平面

铅笔——模拟线段

实验之前，提醒学生注意投影线与投影面之间的垂直关系。并要求他们保留并记录不同的投影结果。

学生活动，教师巡视观察，注意倾听学生的想法，进行必要的指导，不过多干预，错误的样本结果，也可以锻炼思维。

学生汇报，展示结果。

要求：（1）呈现模拟过程（2）解说投影结果（3）语言归纳，概括发现。（可以把要求呈现在课件上）

经过动手操作，倾斜，水平，垂直三种情况应该都会出现（如图①②③）。

铅笔

泡沫竹签

三个不同的样本，是为了比较。比较之后，就能归纳概括。

学生可能从形状、大小两个方面回答。

形状——线段，点

大小——当线段平行于投影面时等长，当线段倾斜于投影面时变短。（学生或许有其它说法）。

这一段，整体控制，一气呵成，老师注意放手，让学生充分展示、交流。

下面从运动变化的角度追问，引导学生深度思考，完善认识。

追问（1）：这三种情况之间有无联系？你能否采用一定的方法，由其中一个，得到另外的两个？（一小部分学生能想到，利用旋转变换，解决问题。）

追问（2）：你还能怎样改变物体位置？投影结果是否发生变化？

学生或许能想到平移，而平移是不改变投影结果的。

追问（3）:通过实验，你能发现哪些不变的结论？

让学生归纳总结，得出线段的正投影规律

当线段平行于投影面时，它的正投影是一条等长的线段。

当线段倾斜于投影面时，它的正投影是一条缩短的线段。

当线段垂直于投影面时，它的正投影是一个点。

本阶段的任务：利用动手实践，运动变化等活动，学生比较不同的版本，经过思维归纳，发现“变中不变的东西”，从而获得线段的正投影规律，发展几何直观能力，进而培养学生的空间想象能力。

面的正投影规律，若没有时间则让学生课下进行。下节课上反馈学习结果。

（3）突破难点——换线为面。按照研究顺序，将线段换成平面图形（出示教具正方形纸板），它的正投影又是怎样的？

此时教师放手，让学生研究，不别过多干预——前面已经做了许多工作，又有了经验。

学生实践，模拟过程，探索结果。（学具：竹签，正方形纸板，塑料泡沫。）

学生汇报，展示结果。

要求：（1）说明探索的是正方形哪方面的变化，对正投影的影响。

（2）根据模拟过程，解说投影结果。

（3）语言归纳，概括发现。

巡视学生动手实验的过程，他们探索的结果，大致会出现以下几种。

纸板平行于投影面时，即使没有演示，学生也会获得认知——其投影是一个与原图全等的正方形。（形状，大小不变）

纸板垂直于投影面，是一条线段，这个学生应没有异议，至于它的大小，会出现两种认识，等于边长或者等于对角线（少数学生会意识后者），实施上投影得到的这条线段的长度的范围是大于等于正方形的边长，小于等于对角线的长。也可以在汇报环节，让这部分学生解说，展示思维过程。

纸板倾斜于投影面，相对困难些。倾斜的位置怎样摆，投影结果的形状是什么，估计是他们面临的两个难题。小组讨论或参看课本，他们多会仿照课本中的位置摆放，一组对边平行于投影面，另一组对边斜交于投影面，其投影结果是一个矩形。（形状不变，大小变）。

极少数学生可能认为，投影的结果是平行四边形。（当纸板两组对边或对边的延长线都与投影面斜交时，结果确实如此）可以让学生课下探究。

深度思考，完善认识。借助几个追问，引到学生反思。

追问①：关于倾斜时的投影结果，有没有不同的看法？

若有，则让学生分享观点，并要求其他学生课下验证。

追问②：你还能怎样改变正方形纸板的位置？改变后，投影是否发生变化？

平移，旋转。都是学生能回答出来的。平移，投影结果不变；

旋转，形状、大小都变。

追问③:用语言总结正方形纸板的正投影结果。

归纳结论：当纸板平行于投影面时，它的正投影与原图全等（形状，大小一样）。

当纸板倾斜于投影面时，它的正投影与原图全等形状，大小不完全一样。

当纸板垂直于投影面时，它的正投影是一条线段。

追问④：当物体的某个面平行于投影面时，当光线垂直照射投影面时，这个面的正投影与它本身有怎样的关系？

学生有了线段，正方形正投影的规律做铺垫，大胆猜想。

会认为投影应与原图全等。

至此，得出物体面的正投影性质：当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小完全形同。

设计意图：面的正投影规律是本节课的一个难点。学习过程渗透了从简单（一维图形的正投影）到复杂（二位图形的正投影），从具体（铅笔、纸板）到抽象（线段，平面图形），从特殊（正方形）到一般（平面图形）的认识规律。

此环节，如果来不及，可以对前面做适当小结。小结的重点放在“本节课重点研究了什么问题？”“我们是怎样研究的？”“获得了哪些结论？”

（三）综合应用

我们研究了三种图形的正投影，下面我们该研究什么了？只剩下

一个体。书上是以例题的方式，直接给出的。

例

画出如图摆放的正方体在投影面上的正投影。

（1）正方体的一个面ABCD平行于投影面（如图⑦）

（2）正方体的一个面ABCD倾斜于投影面，底面ADEF垂直于投影面，并且其对角线AE垂直于投影面（如图⑧）

图⑦

图⑧

让学生自己先画，然后交流学习结果。

第一问学生马上就能解决。相对比较困难的是第二个，看到的是两个斜面和两个和上下底面。

斜面，结合动手操作的经验，能得到两个矩形。这个认知，学生还是能获得的。两个矩形边长的大小关系，位置关系，应该是难点。

结合线的投影规律，可以让他们尝试表明自己的观点。找出矩形的边长与对角线AE的关系。

有了思维的分析，再结合实物——正方体实物观察。让学生演示，解说投影结果。以印证结论，获得完整的认知。从而突破本节课最后一个难点。

设计意图：通过该题，也反映出投影与现实中物体的影子虽有关，但又不等同。投影突出反映物体特征的线条。例（2）中投影是一个中间带有一条中位线矩形，而影子则是一个矩形的阴影。

（四）当堂检测

1. 木棒长为1.2m，则它的正投影的长一定 ( )

A. 大于1.2m B. 小于1.2m C. 等于1.2m D. 小于或等于1.2m 2. 下图水杯的杯口与投影面平行，投影线的方向如箭 头所示，它的正投影图是 ( )

（五）课堂小结

1、本节课重点研究了什么问题？

2、探究物体正投影的性质经历了怎样的过程？（我们是怎样研究的）

3、你获得哪些收获？你还想了解哪些问题？

本阶段任务：掌握知识的同时，梳理研究问题的过程、方法，培养解决问题的能力。

（六）作业布置

教科书习题29.1第1，2题。